#0

지난 시간 자연과학에 등장하는 방정식 70%가 다 나왔다. 뉴턴의 법칙, 쿨롱의 법칙, 양자역학 닐스보어 방정식, 아인슈타인의 민코프스키 4차원 운동량, 드 브로이 물질파, 맥스웰방정식이다. 중력장방정식 빼고 거의 다 등장했다. 중력장방정식만 유도할 수 있으면 자연과학 끝난다.

 

전기파와 자기파는 서로 수직이다. 빛은 횡파이다. 바다의 파고가 횡파다. 종파는 소리이다. 소리가 진행되는 방향과 에너지가 나가는 방향이 동일하다. 횡파는 파동은 제자리에서 오르락내리락 하는데, 파동은 수직으로 밀려간다. 빛의 진동은 나가지 않는다. 전기장과 자기장의 진동은 나가는 방향의 수직에서 일어난다. 에너지 전달은 각각 수직인 방향으로 나간다. 빛은 질량이 0이므로 전체 에너지가 운동에너지로 전달된다. E=PC의 물리적 의미이다. 진공이 텅 빈 공간이 아니고 전자기파가 진행할 수 있는 매질이 된다. 진공은 스칼라장이 있어야 한다. 진공에 있는 스칼라장의 이름이 힉스장이다. 진공의 에너지가 0가 아니다. 진공 그 자체가 스칼라장이고 스칼라량의 대표가 에너지이다. 그래서 진공에너지라고 한다

#1

중력장방정식을 유도한다. 작용이 우주의 구조를 결정한다. 이 문장 속에 다 있다. 작용량은 에너지×시간차원을 갖게 되고. 작용을 무엇으로 설정하는가에 따라 완전히 새로운 물리가 시작된다. 중력장방정식이 나오는 작용은 S라고 적는다. 작용은 라그랑지안 밀도를 4차원 시공에 대해 적분해주는 것이다. 피적분함수는 라그랑지안이다. 라그랑지안은 운동에너지-위치에너지이다. 이것은 전 우주에 대해서이다. 4차원시공의 단위 부피에 대해서 라그랑지안을 따져주는 것을 라그랑지안 밀도라고 한다. 라그랑지안 밀도를 4차원 시공에 대해서 적분해 주는 것이 바로 작용량이 된다.

 

들어가는 라그랑지안을 설정해 주어야 한다. 4차원에 어떤 물질도 없는 진공과 태양이나 갤럭시와 같은 질량이 있을 때를 결합해 주어야 한다. 진공 자체의 라그랑지안을 10년 동안 계산한 사람이 아인슈타인이다. 스칼라량인 에너지 차원이기 때문에 시공의 곡률의 스칼라 곡률을 가지고 온다. 그것이 R값이고 시공의 상곡률이다. 다음이 우주공간에 물질이 있다면 물질공간의 라그랑지안이 Lm이다. 여기에 자코비안(Jacobian)으로 좌표변환 해준다. 우주를 다룰 때는 곡률에 따른 곡선좌표계를 쓴다. 모든 포인트가 좌표계가 다 달라진다. 시공 모든 포인트에서 달라지는 좌표계를 좌표변환 해주는 것이 √–g이다. 상대성에서 이쪽에서 저쪽 넘어갈 때 관계되는 비례상수이다. 이 값이 설정되어야 인터발에 대해서 불변량이 된다. 불변량을 다루어야 우주를 설명할 수 있다. 잘 모르는 비례상수를 1/2K로 둔다. 그래서 S=((1/2K)R+Lm)√–g d4x가 된다.

 

g가 얼마나 중요한지 설명한다. 일반상대성 이론 공부할 때는 단순하게 다 잊어버려도 딱 1g만 알면된다. gμν라고 적는다. 상대성이론은 이거 밖에 없다. 나머지는 여기서 파생되어 나오는 기타 등등이다. μν는 위에 적어도 되고 밑에 적어도 된다. 위에 적은 것은 아래에 적은 것의 역수가 된다. 위에 적은 것과 아래에 적은 것을 곱하면 4가 된다. 같은 인덱스는 지운다. 일반상대서 이론은 매트릭텐서의 인덱스를 변환하는 학문이다. 일반상대성이론의 모든 정보는 g가 가지고 있다. g를 시공에 대해 한번 미분하면 크리스토펠이 되고, 두 번 미분해주면 곡률이 나온다. 이를 중력이라고 한다. 중력의 궁극적 실체도 g이다. 일반상대성 이론이 특수상대성 이론보다 훨씬 쉽다. 계산이 복잡하지만 개념상으로는 단순하다. 궁극적으로 알아야 하는 것은 하나밖에 없다. 인덱스 훈련이다. 기존에 배웠던 학문과 종류가 다르다. 인류가 쓰는 제4의 언어이다. 아인슈타인이 우주를 설명하기 위해 만든 언어라고 생각하면 된다. 오늘 강의 다 놓쳐도 ”g 하나만 알면 모두 끝난다만 가지고 가면 된다.

 

그러면 -gg와 무슨 관계인지만 물으면 된다. 궁극적으로 g가 중력이고, 매트릭텐서라고 하고 4×4 매트릭스이다. Rg와 무슨 관계인가 묻는다. R=gμνRμν이다. 계급장 떼는 게임이다. μν계급장 떼고 g는 사라지니 R만 남는다. 이해하고 말고가 없다. 언어이기 때문이다. 모든 학문은 언어학이다. g는 매트릭테서 gμν의 행렬식(determinant)이다. gμν의 행렬값을 구한 것이 g이다. 이것밖에 없다. 어떤 신비도 없다. 정의를 내리고 그냥 하는 것이다. 일반상대성 이론이 계산은 복잡하나 개념은 특수상대성 이론보다 훨씬 쉽다.

 

S=((1/2K)R+Lm)√–g d4x이다. 4차원 적분이다. xx0, x1, x2, x3로 시간 공간 다 합친 것이다. 이것이 작용이다. 우주에 물질이 없을 때 우주 자체의 진공의 상곡률과 물질의 라그랑지안을 결합한 것이다. 이것을 만든 사람이 힐버트이고 힐버트-아인슈타인 작용이라고 한다. 가장 위대한 것은 이렇게 두었다는데 있다. “이렇게 두자가 핵심이다. 증명된 것이 아니고 이렇게 두고 우주를 설명해 보겠다는 것이다. 다르게 둘 수도 있다. 입자물리학에 들어가면 다 다르게 둔다. 오른손입자 왼손입자에 대해 공변미분 양상이 다 달라지고, 그래서 라그랑지안이 달라진다. 어떤 물리시스템 마다 그것을 묘사할 수 있는 라그랑지안을 찾아내야 한다. 먼저 선험적으로 주어지는 것이 아니다. 물리학자들이 뚝딱뚝딱 해가지고 이번 시스템을 이것을 가지고 시작해보겠다하는 것이다. 이렇게 두고 시작하는 것이다. 아인슈타인이 10년 이상 물리적으로 연구했기에 아인슈타인 텐서에서 스칼라텐서 R을 도입하는 것이 맞겠다고 힐버트가 생각한 것이다. 아인슈타인 텐서는 진공에 대한 텐서이다. 물질이 있을 때는 Lm으로 둔다. 매트릭텐서 g를 왜 붙이는가? 궁극적으로 이 값은 4차원 시공의 인터발인 (ct)2-(x)2 과 관계된다. 제곱은 양수가 되어야 하는데 음수가 되는 것을 방지하기 위해 를 붙인다. 이쪽 시스템에 저쪽 시스템으로 옮겨 갈 때 이 시스템은 참이 된다. 4차원 부피 d4x는 시공에 대해 불변량이 아닌데, -g를 곱해주면 불변량이 된다. 불변량을 구하는 것이 공변미분이다. 물리법칙에 불변량이 되기 위해 들어가는 팩터이다. 이것이 들어가면 물리시스템이 이쪽에서 통용되는 것이 저쪽에서도 통용되는 것을 보증해준다. -g가 핵심이다. 어디서 왔는가? 메트릭텐서의 행렬식을 따라가면 된다.

 

우주의 설계원리는 작용이 최소화 되는 것이다. 미분은 어떤 함수의 최소값이 뭔가를 구하면 한 값을 구하게 된다. 변분은 평면에서 두 점이 있을 때 두 점을 연결하는 최소선은 어떤 것인가? 답은 직선이다. 미분은 구하는 답이 실수이고, 변분은 구하는 답이 함수이다. 이론물리에서는 해밀턴 시스템에서는 변분법이 핵심이다. 2차원 평면에서 두 점에서 최단거리를 구하라고 화면 직선이 되고 직선의 함수가 된다. 변분 기호는 δ을 쓴다. δ(f)=0을 구한다. 변분은 정류값을 구한다. 미분은 변곡점을 구한다. 변분은 함수가 답으로 나온다. 두 점을 연결하는 최단함수는 1차함수가 나온다. 우주에 대해서 질문을 해 보는 것이다. “δS=0” 이 식이 인류가 만든 공식 중 대장이다. 극단적으로 말하면 인간이 만든 모든 자연과학은 이 공식 하나 속에 있다. 여기서 곧장 중력장방정식이 나온다. 변분원리를 하면 자연과학의 모든 방정식이 유도되어 나온다. 모든 자연의 설계원리는 딱 하나 δS=0을 찾아내는 것이다. 변동량이 0인 함수를 찾으라는 것이다. 변동량이 0라는 것은 변화가 가장 적은 것이고, 변화가 가장 적은 것이 가장 안정적이다. 그것이 우주다. 변화가 최소인 조건을 만족하는 함수가 나온다. 그 함수가 우주 전체를 설명하고, 그 함수가 중력장방정식이다. 우주가 δS=0을 충족시키기 위해 시공이 진공+물질이 있는 전체 시스템을 가장 안정화 시킬 수 있는 방정식이 나오게 된다.

 

아인슈타인이 11년을 매달려 답을 다 구해 놨는데, 봉이 김선달처럼 힐버트가 보더니 질문을 이렇게 바꾸어 놓을 수 있다고 이야기 하였다. 당신이 11년 동안 엄청난 텐서 미분을 풀어서 해 놓았는데, 질문을 바꾸면 당신이 우주의 룰을 찾고 싶다면 우주에 어떤 함수가 있는데 우주를 만든 설계도인 함수는 변동량이 최소인 조건을 갖는 함수면 우주를 설계할 수 있다고 하였다. 변동량이 0가 아니면 끊임없이 변화하거나 사라진다. 이 말 속에 일반상대성이 다 들어 있다.

 

δS=0를 찾아내면 된다. S작용을 변분한다는 것은 미분이라고 생가하면 된다. 상수 1/2K를 빼내고, δ(R-g)δgμν로 나누어주고, 다음은 δ(Lm-g)δgμν로 나누어 준 것을 더해주고, 다음은 매트릭텐서 δgμν로 나누어 주었기에 다시 곱해주고 d4x를 한다.

δS=∫〔1/2k δ(R-g)/δgμν + δ(Lm-g)/δgμν〕δgμν d4x 이 공식까지 오면 30% 온 것이다. 궁극적으로 이를 0 해주면 된다. 이것이 우주의 설계도이다.

δ(R-g)/δgμν를 먼저 계산한다. δ(R-g)/δgμν = -gδR/δgμν + Rδ(-g)/δgμν 가 된다. 스칼라곡률인 상곡률 R=gμνRμν이 되는데, gμν는 매트릭텐서, Rμν는 리치텐서로 곱해주면 상수인 R(상곡률)이 나온다. 상수가 스칼라량이고 상수는 어떤 좌표에서도 불변량이 된다. 따라서 δR=Rμνδgμν+gμνδRμν 이다. gμνδRμν=0가 되는데, 아인슈타인이 비앙키항등식으로 증명을 했다. 따라서 δR=Rμνδgμν가 남아 위 식에 넣어주면 -gδR/δgμν=-gRμν가 된다.

 

-g가 자코비안량이고, 이 양이 일반상대성 이론을 물리시스템의 불변량으로 우주의 궁극적 법칙이 되게 한 것이다. -g의 변분을 구하는 것이 중력장방정식의 90%이다. 여기서 노상 헷갈린다. 이것이 메트릭텐서이고 아인슈타인이 10년 이상 헷갈릴 만하구나를 느끼게 된다.

 

#2

δ(-g)를 구해본다. δ(-g)=δ(-g)1/2=1/2(-g)-1/2(-1)δg=-1/(2-g)δg가 된다. 그러면 g=gijGij로 주어진다. 행렬식 구할 때 여인수라고 한다. 궁극적으로 δg를 구하는 것이다. 편미분 g/xl=(g/gij)(gij/xl)를 먼저 해준다.

 

g/gij = (gij/gik)Gij + gij(Gij/gik)가 된다. (gij/gik)=δjk가 된다. j=k이면 1이 되고, 다르면 0가 된다. 행렬식 gij(Gij/gik)=0가 된다. 그러면 δjkGij=Gik가 된다. 따라서 g/gij=Gij=ggij가 된다.

 

gij/xl은 매트릭텐서를 4차원 시공좌표에 대해서 편미분하라는 것이다. 우주 자체에 대해서 우주의 중력을 나타내는 매트릭텐서를 우주 4차원 시공의 각 포인트에 대해서 편미분해주면 무슨 값을 갖느냐라는 말은 사실은 우주 전체를 내 놓으라는 말로 들린다. 그런데 계산할 방법이 없어 우회길로 간다. gij×gjk를 상정해 본다. 텐서로테이션은 훈련해야 한다. j를 위 아래 없애면 δki가 남는다. (gij/xl)gjk + gij(gjk/xl)=0 을 찾아 본다. 각각에 계량텐서를 곱해준다. gkm을 곱해주면 k가 같으므로 δjm이 된다. 따라서 gim/xl=-gijgkm(gjk/xl)에서 j->n으로 바꾸어 주면, =-gingkm(gnk/xl)이 되고, 다시 m->j로 바꾸어주면, gij/xl=-gingkj(gnk/xl)이 된다.

 

#3

우리가 구하려는 g/xl=(g/gij)×(gij/xl)=ggij×-gingkj(gnk/xl)가 되고, gij×gin=δjn이 되고, gkjjn으로 바꾸어 주면, gkn와 같아진다. 이것을 찾아가는 것이다. 일반상대성 이론은 이 길이 정통이다. 그러면 g/xl=-ggkn(gkn)(xl)이 되어 굉장히 유명한 수식이다. 요까지 오면 95%는 유도된 것이다. δg를 알고 싶은데 g에 들어있다. 그래서 δg=-ggkn(δgkn)이 되고, 인덱스를 바꾸어 δg=-ggμν(δgμν)로 주어진다.

 

그러면 우주전체 작용의 변분 δS=∫〔1/2k δ(R-g)/δgμν + δ(Lm-g)/δgμν〕δgμν d4x 에서

 

= ∫〔1/2k (-gδR/δgμν + Rδ(-g)/δgμν) + δ(Lm-g)/δgμν〕δgμν d4x

= ∫〔1/2k (-gRμν + (-1/2)(-g)Rgμν) + δ(Lm-g)/δgμν〕δgμν d4x

 

Rδ(-g)/δgμν=(R/δgμν)(-1)/(2-g) δg = (R/δgμν)(-1)/(2-g)(-ggμν(δgμν)) = R(g/2g)gμν = (-1/2)(-g)Rgμν가 된다.

 

따라서 δS= ∫〔√-g/2k (Rμν - (1/2)gμνR) + δ(Lm-g)/δgμν〕δgμν d4x 가 된다.

 

여기서 “Rμν - (1/2)gμνR” 이라는 우주 진공의 작용의 아인슈타인 텐서가 들어있다. 리치텐서(Rμν), 메트릭텐서(gμν), 스칼라텐서(R)가 들어있다. Rμν - (1/2)gμνR=0은 진공의 구조이다. 작용이 우주의 구조를 결정했다. 아인슈타인 텐서는 물질이 없는 진공 그 자체이다.

 

별이 있고 갤럭시가 있는 물질이 있는 텀까지는 어떻게 되는가?

 

∫〔√-g/2k (Rμν - (1/2)gμνR) + δ(Lm-g)/δgμν〕δgμν d4x =0 를 충족하는 것이 우주의 방정식이다. 0로 둔다는 것은 최소작용의 공식을 유도한다는 것이다. 작용의 변분이 0가 되는 값을 구하라는 것이다.

 

∫〔(Rμν - (1/2)gμνR) - (k(-2)/-g)δ(Lm-g)/δgμν〕δgμν d4x에서, (-2)/-g)δ(Lm-g)/δgμνTμν라고 두면, =∫〔(Rμν - (1/2)gμνR) - kTμν〕δgμν d4x 이 된다. 이것을 0로 하는 조건이 변분이다. 변분은 변동량이 0가 되는 조건 δS=0 을 구하는 것이다. 그러면 ∫〔(Rμν - (1/2)gμνR) - kTμν〕δgμν d4x = 0에서 Rμν - (1/2)gμνR) = KTμν가 되고, K=8πG/C4이 된다.

 

아인슈타인은 나중에 우주상수를 도입한다. R -> R-2로 바꾸면, Rμν - (1/2)gμν(R-2) = KTμν가 되어, 완벽한 아인슈타인의 중력장방정식은 Rμν - (1/2)gμνR+gμν∧ = (8πG/C4)Tμν이다. 아인슈타인이 만들고 나서 일생일대 최대실수라고 후회했는데 지금은 암흑에너지를 설명하는 텀으로 각광을 받는다.

 

이 과정을 돌아보면 햇갈리는 부분은 계속 훈련해야 한다. 중력에 대해서 알아야 하는 것은 딱 하나 매트릭텐서이다. 수학적으로는 변분법을 쓴 것이고, 구해지는 것이 상수값이 아니고 자체가 함수값이 나와서 물리방정식이 되니 더 파워풀하다. 조물자가 우주를 만들 때 어떻게 만들었겠는가? 가장 안정적인 우주를 만들고 싶은 것이다. 안정적이지 않으면 붕괴되기 때문이다. 가장 안정적이라는 말을 수학적으로 바꾸면 변동량이 0가 되면 된다. 변동량이 0가 되는 함수를 찾아내니 방정식이 나오고 우주는 그 방정식대로 진행이 되어야 한다. 아인슈타인이라는 천재가 10년에 걸쳐서 도출해 냈고, 나중에 하나하나 들어가면 숨 막히는 것들이 있다.

 

힐버트 방정식으로 전개를 한 것이고, 아인슈타인 방식은 더 어렵지만 훈련을 하는 것이 중요한 이유는 거기에는 물리가 들어가 있다. 매트릭텐서가 뭔가하면, 우리가 임의의 4차원 시공에 ds2=dx.dx이다. 4원 벡터이다. 4차원에서 좌표시스템을 도입할 때 dx=dεigi라고 적을 수 있다. gi가 기본벡터이다. 4차원 곡면 모든 포인트에서 바뀌는 벡터이다. 자연기저벡터(natural base vector)라고 한다. 크기가 1도 아니고 x,y,z90도로 만나지도 않고 모든 포인트에서 바뀌어진다. 따라서 ds2=dx.dx=(dεigi).(dεjgj)=dεidεj(gi.gj)=(gij)(dεidεj)이 된다. 기저벡터의 inner product를 부르는 이름이 gij이다. 이것이 매트릭텐서의 엄밀한 수학적 정의이다.

 

#4

리치텐서 Rμν=∂μ⎾ν - ∂ν⎾μ + 〔 ⎾μ.⎾ν〕 가 가장 간단히 암기할 공식이다. 크리스토펠()은 자연기저벡터 gij방향으로 편미분해주면 gi/xj=k ij gk가 된다. 암기하고 훈련해야 한다.

 

gμν=ημν + hμν가 된다. hμν=4×4 매트릭스로 주어진다. hμν=-1 0 0 0 / 0 1 h13 h14/ 0 h22 1 h24/ 0 h32 h33 1이다. ημν=-1 0 0 0 / 0 1 0 0/ 0 0 1 0/ 0 0 0 1이다. hij=acos(ωt+Φ), a는 대략 1023승이다. 천문학적으로 미묘한 값의 곡률이 생긴다. 중력파를 측정하는 것이 1km 철봉의 맨 끝에 원자 하나 크기의 변동에 해당되는 값이다. 지구질량에 의해 시공이 휘어진 정도도 계산할 수 있다. 13억분의 1이다. 거의 평평하다고 봐도 된다. 이런 현상은 블랙홀에서 일어난다.

 

일반상대성 방정식을 푼다는 것은, 4차원 두 시공의 인터벌 s2=-(x0)2+(x1)2+(x2)2+(x3)2 으로 주어진다. 4차원 직육면체의 두점의 대각선 길이가 인터벌다. 이때 점은 이벤트이다. 지난 시간에 들었던 순간은 존재하지 않는다가 여기서 나온 말이다. S2=(x0 x1 x2 x3)(-1 0 0 0/ 0 1 0 0/ 0 0 1 0/ 0 0 0 1)(x0 x1 x2 x3) 행렬계산이다. 11렬로 나오는 상수가 s2이다. 이떼 4×4 행렬을 부르는 이름이 매트릭텐서이다. 당연히 모든 정보는 여기에 있다. 중력이 없는 플랫한 우주에는 대각선 값이 1이지만, 블랙홀에서는 1이 아니고 어떤 함수값을 가진다. 그래서 일반상대성 이론을 푼다는 것은 1이 아닌 어떤 함수값을 찾아내는 일이다.

 

매트릭텐서(gμν)를 한번 미분하면 크리스토펠()이 되고 한번 더 미분하면 곡률텐서(Rμν)가 나온다. 이 우주밖에 없다. 수학적으로 복잡하나 개념적으로는 일반상대성 이론이 더 간단하다. 헷갈리지 않는다. 특수상대성은 이쪽 저쪽 이야기라서 우리 브레인이 오른쪽 왼쪽을 구분 못하기에 수식을 보면 아는데 느낌으로 오지 않는다. 일반상대성 이론부터 먼저 공부하라. 오히려 이것이 더 빠르다. 안 어렵다.

 

아인슈타인 전기를 읽어보면 눈물이 안다. 아인슈타인은 공식이 작동하는지 궁금했다. 11년 동안 중간에 논문을 썼는데 누구도 틀린지 모른다. 그런데 아인슈타인은 안다. 마지막 발표 2년 전에 에러가 있다는 것을 알고 또 고민에 들어간다. <뉴턴과 아인슈타인>에 보면 저 공식 마지막 도달할 때 쯤 되면 거의 사람이 붕 떠서 몇 달을 보낸다. 어느날 머리를 식히며 천문학자 모임에 가서 수성의 근일점 문제가 100년간 에러를 줄이게 위해 풀었는데, 문제가 완전히 풀리지 않았다. 에러를 아무리 줄여도 57초 에러를 줄이지 못했다. 아인슈타이인 그 강의를 듣고 내가 방금 만든 방정식으로 계산해 보니 정확하게 57초가 나왔다. 그리고는 한 달 동안 실성한 사람처럼 웃고 다녔다고 한다. 그때 나온 말이 내가 신하고 직접 통화를 했다이다. 얼마나 드라마틱한가? 자기가 만든 공식이 100년 동안 못 푼 문제를 단숨에 답을 냈다. 두 번째 저 공식은 슈바르츠실트가 1차대전 전쟁 속에서 중력장방정식을 우주 공간에 있는 정지된 구형태의 질량에 적용해서 나온 것이 슈바르츠실트 반경이다. 그것이 블랙홀이다. 그때부터 블랙홀 연구가 봇물이 터졌다. 아인슈타인도 저 공식이 이렇게 까지 확장될 것을 예상 못했는데, 우주의 모든 것을 설명하는 공식으로 격상이 되었다. 가장 빠른 길은 의미를 묻지 말고 쭉 풀어 숙달이 되고 나면 상대성 이론 책을 보면 쭉쭉 보이면서 한 달 만에 관문이 돌파된다

#5

양자역학의 문을 연 슈뢰딩거방정식으로 간다. 파동방정식이 어떻게 작동되는가를 보여준다. 파동방정식은 Ψ=ei(kx-ωt) 이다. 이 속에 양자역학이 다 있다. 작용 속에 다 있다. 이렇게 접근해야 한다. 이 파동방정식을 양자화시킨다. K=2π/λ=P/ħ, E=ħω, ω=E/ħ 이므로, Ψ=ei/ħ(Px-Et)가 된다. 양자화된 파동방정식으로 바뀌어진 것이다.

 

파동방정식을 공간x에 대해서 미분하면, ∂Ψ/x=(ip/ħ)Ψ가 된다. 파동함수를 공간x에 대해서 두 번 미분하면, 2Ψ/x2=(ip/ħ)2Ψ=-(P2/ħ2)Ψ가 되어 Ψ=-(ħ2/P2)(2Ψ/x2)이다. 시간에 대해서 미분해주면 ∂Ψ/t=(-iE/ħ)Ψ가 되고, Ψ=(ħ/-iE)(∂Ψ/t)가 된다.

 

#6

따라서 양쪽의 Ψ를 같다고 놓으면, -(ħ2/P2)(2Ψ/x2)=(ħ/-iE)(∂Ψ/t)가 된다. 다시 정리하면, (ħ2E/P2)(2Ψ/x2)=(ħ/i)(∂Ψ/t)가 된다.

 

E=½mv2+V=(mv)2/2m+V=P2/2m+V이므로, E를 위 식에 집어 넣으면 (ħ2/P2)(P2/2m+V)(2Ψ/x2)=(ħ/i)(∂Ψ/t)이 되고, 간략히 하면, (ħ2/2m)(2Ψ/x2)+ħ2V/P2(2Ψ/x2)=-ih(∂Ψ/t)가 된다.

 

앞서의 식에서 2Ψ/x2=-(P2/ħ2)Ψ, ∂Ψ/t=(-iE/ħ)Ψ을 넣어 정리하면, (ħ2/2m)(2Ψ/x2)-VΨ=-EΨ가 된다. 다시 정리하면, (2Ψ/x2)+(2m/ħ2)(E-V)Ψ=0 . 이것이 슈뢰딩거방정식이다. 더 이상 없다. 10번 적고나서 잊어버려라. 이것을 푸는 것이 대학교 1학기 과정이다. V 포텐셜이 격자형 무늬 포텐셜이면 반도체 물리가 나온다. 포텐셜이 V=ke/r가 되면 주기율표가 나온다. 주기율표와 이것 결합하면 대학과정의 양자역학 끝이다. 우리가 풀 수 있는 것은 몇가지 밖에 없다. 이거 이상 없다.

 

이것을 하면 슈뢰딩거방정식의 할아버지를 알게 된다. 그러면 슈뢰딩거방정식의 갈증이 없어져 버린다. 나는 슈뢰딩거방정식이 어떻게 만들어졌는지 알았노라가 된다. 할아버지를 아니 구체적으로 그 손자를 안 물어도 된다. 이 수식을 유도할 수 있으면 안 휘둘린다. “나는 너가 누구 집 자손인지 알고 있다가 된다. 아무리 위대한 사람도 동네 고향에 가면 한 수 접고 들어간다. 근본을 알아버리면 그 밑에 쫄개는 상대 안해도 된다.

 

물리학은 지난 주와 이번 주 외에는 없다. 세부사항을 따져주는 것은 직업적으로 연구하는 사람이 하는 것으로 우리가 관여할 바 없다. 우주라는 기둥이 어떻게 만들어졌는지만 보여주면 된다.

 

이제는 해방되어야 한다. 공부는 우리를 자유롭게 해준다. 자유롭다는 것은 주눅들지 않게 해준다. 양자역학이 어렵다, 신비스럽다 해 온 것에 주눅이 들었다. 그냥 파동함수일 뿐이다. 파동함수를 양자화시킨 것 뿐이다.

 

존재, 환상, 순간을 제대로 음미하려면 상대성이론을 몸에 붙여야 한다. 몸에 붙으면 실상이 그렇다는 것을 알게 된다.

 

주기율표의 l=0, 1, 2, 3l이란 값이 어떻게 떨어졌는지 할아버지만 본다. 우리는 학문을 하는 사람이 아니다. 과학자를 키우는 것이 아니고, 세상이 무엇으로 구성되었는지 근본원리를 알아보고 싶은 것이다. 세부적인 것은 과학자들이 하면 된다. 널려 있다. 우리는 과학자가 연구한 총 결론을 세계화로 삼기 위해 결과만 가지고 가면 된다.

 

슈뢰딩거방정식을 풀면 Ψ(r, θ, Φ)=R(r)Y(θ, Φ)로 구분한다. 이를 변수분리라 한다. 그러면 l값은 R에서 나오는 것이 아니고 Y에서 나온다.

 

LzYλm(θ, Φ)=mħYλm(θ, Φ), L2Yλm(θ, Φ)=λħ2Yλm(θ, Φ)로 적고 이 조건을 만족하는 λ를 찾아보자는 것이다. 또 하나의 연산자는 L+로 생성연산자이다. L+=Lx+iLy, 생성자와 소멸자를 곱해주면 L+L-=(Lx+iLy)(Lx-iLy)=Lx2+Ly2+iL+, L-이다. L2=Lx2+Ly2+Lz2 이고, iL+, L-=iħLz이므로, Lx2+Ly2+iL+, L-=L2-Lz2+ħLz가 된다.  

#7

L+Yλm=(Cλm)(Yλm+1)에서 컨쥬게이트한 것과 곱해서 전공간에 대해서 적분해주면 (L+Yλm)*(L+Yλm)dΩ=Y*λm(L-L+)YλmdΩ=Y*λm(L2-Lz-ħLz)YλmdΩ=Y*λm(λħ2-m2ħ2-mħ2)YλmdΩ=ħ2(λ-m2-m)Y*λmdΩ=(C*λm(Y*λm+1)(Cλm)(Yλm+1)dΩ=ICλmI2(Y*λm)(Yλm+1)dΩ이 된다. 따라서 ICλmI2=ħ2(λ-m2-m)0, λ≥m2+m, λ≥m(m+1)이므로, =가 되려면 mmax가 되어야 하고, mmaxl로 두면, λ=l(l+1)이 된다. 주기율표 l의 출현이다.

 

L2Yλm(θ, Φ)=l(l+1)ħ2Yλm의 유명한 공식이 나와서 모든 걸 다 푼다. n=2, l=n-1이 최대값이다. l=0, 1이 되고, ml=0, ±1, ±2 ...±l이 된다. 슈뢰딩거방정식의 가장 이해하기 어려운 부분만 떼어내서 계산해 준 것이다. 이것만 알면 슈뢰딩거방정식에서 주기율표까지 가는데 막힘이 없다.

 

#8

eix=(ix)0/0! + (ix)1/1! +(ix)2/2! + .... = (1/0!)+(-x2)/2!+x4/4!+(-x6)/6! ... +i(x/1! + (-x3)/3! + x5/5! ....) = cosx+isinx 로 적을 수 있다. (eix)n=einx=(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx이다. -21.5승하면 어떤 답이 나올까? (-2)1.5=(2×(-1))1.5=(2(cosπ+isinπ))3/2=2(3/2)(cos3π/2+isin3π/2)=2(3/2)(-i)=22i로 답이 허수가 나온다. 그래서 계산할 수 없다. 지수를 모르면 꿈에도 계산할 수가 없다. 그래서 수학이 2배로 확장되었다. 우주론에 허수가 많이 나오는 이유는 허수가 들어가야 허수 i 작용으로 sin, cos이 나온다.

 

#9

중력장방정식은 반쪽이다. 측지선방정식을 알아야 한다. 우주의 입자가 어떻게 움직이느냐를 알게하는 중요한 방정식이다. 일방상대성 이론은 기하학적으로 보면 4차원시공에서 모멘텀 벡터를 평행이동하는 학문이다.

 

모멘텀 P를 평행이동 하면 0가 된다. dP=0, P=Pμeμ에서, dP=d(Pμeμ)=d(Pμ)eμ + Pμd(eμ) = dPμeμ + Pμ⎾ρμνdxνeρ에서, ρμ로 바꾸면, dPμeμ + Pρ⎾μρνdxνeμ =0 가 되어 eμ를 떼고나면, dPμ + Pρ⎾μρνdxν = 0이 된다. 고유시간미분 dτ로 나누어주면, dPμ/dτ + Pρ⎾μρν(dxν/dτ)= 0이 된다. 4차원 모멘텀 Pμ=m(dxμ/dτ)를 넣으면, d/dτ(m(dxμ/dτ)) + m(dxρ/dτ)⎾μρν(dxν/dτ)= 0이 되고, m을 빼 버리면, d2xμ/dτ2 + ⎾μρν(dxρ/dτ)(dxν/dτ)= 0 이것이 측지선방정식(geodesic equation) 이다. ⎾μρν(dxρ/dτ)(dxν/dτ) 텀이 4-force로 중력이 되고, d2xμ/dτ2 F=ma이다. 따라서 중력과 가속도가 같다는 것이 이 공식에 박혀있다.

 

결론적으로 벡터를 4차원 시공의 곡면을 따라 이동을 시켰을 때 각도가 얼마나 바뀌는가이다. 지구본에서 1개의 자연기저벡터를 평행이동하여 폐곡면을 그려보면 원점으로 왔을 때 각도가 곡률이 된다. 벡터가 2개이면 두 벡터를 내적하면 면이 된다. 면에 해당되는 것이 매트릭텐서이다. 일반상대성은 우주가 어떻게 생겼는지 모르지만, 어떤 곡률을 가져도 다 해석할 수 있다는 것이다. 곡면에 무한히 작은 정사각형 거울을 붙일 수가 있다. 실재곡률을 정사각형에 투영할 수 있다. 중력이 작동하는 어느 시스템에도 미소한 무중력, 갈릴레이 시스템인 평평한 우주가 존재할 수 있다는 것이다. 무한히 작은 평평한 우주를 계산하는 개념이 매트릭 텐서이다. 리얼 곡면이 어떻게 바뀌는지 알 수 없으나, 곡면에 붙이는 정사각형이 무한대로 작아지면 곡률을 그대로 따라가고 우주를 설명한다

#10

Tμν=(T00 T01 T02, T03/ T10 t11, T12, T13/ T20, T21, T22, T23/ T30, T31, T32, T33)=σ0C2(1 β1 β2 β3/ β1 β11 β12 β13/ β2 β21 β22 β23/ β3 β31 β32 β33)가 되고, βi=Vi/C가 된다. energy density, momentum density, energy flux, momentum flux 구역으로 나눈다. σ0는 정지질양이고 σ0C2은 광속을 곱해준 것이다. 모든 우주의 모든 정지질량이 있으면 광속을 곱해주면, 그 양이 속도의 함수가 된다. 그래서 여러분이 보는 우주는 환상이다 다 바뀐다. 과정밖에 없다. 에너지모멘텀 조차도 속도의 함수이다. 속도가 공간과 시간의 비율이다. 결국 공간과 시간의 관계로 질량이 모두가 바뀐다. 질량이 우주가 달이고 지구이다. 모두 바뀐다는 말이다.

 

마무리하면 상대성이론이 보여주는 세계관은 판타스틱하다. 오늘 두 날개를 다 했다. Tμν모멘텀-에너지 텐서이다. 우주에는 에너지와 모멘텀 밖에 없다. 중력장방정식이 의미하는 바는 물질에너지에 의해 시공의 곡률이 결정된다는 것이고, 측지선방정식의 곡률은 태양 둘레를 도는 지구가 가는 길이다. 우주의 모든 질량을 가진 존재가 가는 길은 곡률을 따라간다. 우리가 갈 수 있는 유일한 길이다. 길의 방정식이 측지선방정식이다. 그 사람이 가는 모든 운동궤적은 측지선방정식을 따른다. 곡률은 에너지물질이 만들어준다. 우리의 운명은 우주가 만들어 주었고, 운명의 구체적인 길은 측지선방정식을 따른다. 존 휠러 (John Archibald Wheeler물질에너지가 시공의 곡률을 결정하고, 곡률을 따라서 우주에 존재하는 모든 입자가 운동한다.”고 하였는데, 이 한 문장으로 일반상대성 이론은 끝이다