#0

호모 사피엔스는 하이어라키(hierarchy) 구조로 되어 있는 맥락으로 일을 처리한다. 아이에게 조용히 하라고 했을 때 부모가 있다는 것이 가장 큰 맥락이면, 아이들은 부모가 없을 때는 뛰어 논다. 애들은 가르쳐 주지 않아도 안다. 그리 간단한 것이 아니다. 어른이 되어도 가르쳐 주어도 모르는 사람이 많다. 적당히 알아서 하면 되는데, 적당히를 잘 못한다. 우리는 적당히 잘하는 것을 가지고 태어났는데, 어른이 되면 신념에 매몰되어 유연성을 잃어버리기 때문이다. 적당히 잘하는 것을 ‘눈치’라고 한다. 알아서 잘한다는 것이다. 오늘 강의주제와 연결된다. 어른이 되면 적당히 알아서 잘하는 것이 오히려 안 된다. 각자의 직장, 직업을 30년 하면 편향된 지식, 정보에 적응이 되어 있다. 나이가 들면 잘 안 된다.

이 중 하나가 8주 동안 정면승부 봐야하는 문장이 있다. “Free energy proposed as Lagrangian of gauge theory for living system.” 오늘 이 문장이 무슨 뜻인가를 깨달으면 “억!” 한다. 지구에는 두 가지 사람이 있다. “억” 할 수 있는 사람과 “억” 할 수 없는 사람이다. 난 계속 붙들고 있어서 “억”할 수 있다. 오늘은 ‘라그랑지안’이 무엇인지만 갖고 갈 수 있으면 된다. 300년 동안의 수학사가 링크되어 있는 문장이다. 적는다고 되는 것이 아니다. 긴 역사를 알아야 하고 엄청난 관찰을 해야 한다.

라그랑지안은 ‘운동에너지-위치에너지’이다. 위치에너지는 무엇인가? 높은 사람은 우러러 보는 위치, 높은 산 가면 헉헉대는 위치, 물이 높은 데서 떨어지는 위치, 여기에 에너지를 붙였다. 높은 곳에 있는 것은 떨어진다. 에너지가 높기 때문이다. 저수지의 물이나 높은 곳에 있는 것들은 몇일 시간에는 안 바뀐다. 시간의 함수가 아니다. 위치는 내가 어찌할 수 있는 것이 아니다. 분위기이다. 분위기는 내가 어찌할 수 없다. 나를 구성하는 환경이다. 내가 선호하는 환경이 있고 꺼끄러운 환경이 있다. 꺼끄러운 환경은 내가 접근을 잘 못한다. 절벽이다. 위치에너지가 크다.

라그랑지안에는 운동에너지와 위치에너지의 차이가 있다. 더하기가 아닌 빼기이다. 운동에너지는 내 것이다. 내가 걸어간다. 교실, 교회, 집회 가면 여러분은 한 포인트이다. 전체 분위기는 내가 어찌할 수 없다. 분위기, 위치에너지이다. 내가 할 수 있는 것은 ‘내 팔 내가 움직이는 것’이다. 운동에너지이다. 그러면 어떤 사람들이 잘 살아가는 것일까? “줄 잘 서라, 적당히 잘 처신하라”, 운동에너지와 위치에너지의 차이를 줄이라는 말이다. “모난 돌이 정 맞는다.”는 통계적으로 맞는 말이다. 분위기 파악 못하는 것이다.

분위기는 나를 에워싸는 환경이다. 나와 환경의 갈등을 최소화하는 포인트로 살아가라는 말이다. 그래야 천수를 누리면 편안히 잘 살 수 있다는 것을 수학방정식으로 표현한 것이 ‘라그랑지안’이다. 이 속에는 여러분들이 구체적으로 풀어내면 어떻게 살아야 할 것인가의 답이 나올 수 있다. 운동은 내 것이지만 위치는 내 것이 아닌 고정이다. 그러면 변하는 것이 고정에 맞추어야 한다. ‘환경에 맞추어 살아라’는 말이다. 그것이 프리에너지를 최소화한다는 것이다. 프리에너지를 최소화 하려면 서치라이트에 있으면 안 된다. 장롱 밑에 들어가야 한다. 물고기는 물에 있어야 한다. 밖에 나오면 “푸드득”하다 죽는다. 자기 위치를 망각하기 때문이다. 자기 위치를 망각하면 인간사회에서는 감옥 간다. 오래 못산다. 생명체 뿐 아니라 우주 자체가 이 공식을 따를 수 밖에 없다.

이 많은 얘기들이 딱 한 문장이다. “라그랑지안을 최소화하라.” 그것이 우주의 설계이다. 수학 따로 철학 따로 생활 따로, 그거 아니다. 그러면 우주를 배반한 것이다. 우주를 만드는 원리나 세포를 만드는 원리나 지구를 만드는 원리가 다르다고 생각하면 큰 착각이다. 말은 알아들을 것 같은데, 수식으로 가면 300년 걸렸다.

이 강의에서 어렵다고 하는 사람은 분위기 파악 못하는 것이다. 원리적으로 그렇다. 분위기는 내 바깥에 있는 위치에너지이다. 높은 사람한테 대들지 말고 잘하라는 것이다. 높은 사람이 있는 곳에는 구조가 있다. 그럼 자유는 없는가? 있다. 운동에너지이다. 마음대로 운동은 하되, 아파트 창문 열고 뛰어내리지 말라는 것이다. 구조 속에서 일 열심히 하라는 것이다. 어마어마한 이야기이다. 나에게 거북스러운 구조가 있으면 시스템에서 에너지를 얻지 못한다. 여러분은 바짝 말라 죽거나 머리 쳐 박다가 감옥간다. 수많은 사람이 머리 쳐 박다보면 혁명의 사례에서 보듯이 구조가 바뀌기도 한다. 그런데 우리의 수명은 구조가 바뀌기에는 너무나 짧다. 그래서 “잘~‘이라는 말 속에는 어마어마한 것이 들어 있다.

#1

미리 말씀드리면 첫 시간 듣고 안 나타나는 사람이 있어서 예방주사를 놔 드린다. 오늘 첫 대목이 8주 동안의 복선을 깔고 가장 어렵다. 300년 이상 걸린 것이다. 이해는 거의 안된다. F=ma의 다른 버전이다. 이해는 포기하라. 다 했던 것인데, 완전히 체득하면 물리학을 다 안 것과 똑같다. 15년째 한 사람의 이야기이다. 로테이션(rotation)이 왔다갔다 한다. 300년 동안 연구하여 온 사람들조차도 로테이션으로 100년간 설왕설래하고 헷갈렸다. 정착되고 나서 곧장 입자물리학으로 바뀐다. 우주의 스탠다드모델(standard model)로 가게 된다.

평생 입자물리학을 하신 분이 ’해밀턴의 원리(Hamilton’s principle)‘는 살아남을 것이라고 했다. 오늘 이것만 갖고 가면 된다. 그것이 ”적당히 잘하라“이다.

변수가 딱 2개이다. 위치와 속도이다. 위치와 속도를 다루는 것을 ‘위상공간’이라고 한다. ‘쿼바디스 도미네(Quo vadis, Domine)’와 동일한 이야기이다. 베드로가 로마로 살기 위해 도망갈 때 예수에게 물었다. ”주여 어디로 가시나이까?“. ‘어디’가 위치이다. 위치가 신앙의 위치일 수 있고, 달과 지구 사이의 위치일 수 있다. 추상적으로 보든, 물리적으로 보든 동일하다. ”지금 당신 어디에 있는가?“ 우리는 중의법으로 보는데, 두 개가 다 맞다. 실재로 일어나고 있다. 인생에서 당신의 이 순간의 위치를 물을 수 있고, 지금 당신의 공간적 위치를 물을 수 있다. 다르게 생각하면 인문학 따로 수학 따로이다. 궁극적으로 하나라는 것이 확연해진다. 공부는 하는 것이 아니고 멈추는 것이다. 멈춘다는 것은 내 위치를 확인하는 것이다. 우주에서의 내 위치, 가정에서의 내 위치, 직장에서의 내 위치, 후에 사라질 유한한 존재로서 삶의 내 위치이다.

이곳에서 내 위치는 건물이 결정해 준다. 위치는 자기가 만들어주는 것이 아니다. 그것을 구조라고 한다. 사회에도 구조가 있고, 가정에도 구조가 있다. 그 구조에 의해 가장이라는 위치를 부여받는다. 위치는 시간의 변수가 아니다. 빌딩은 만들어지면 100년 간다. 위치에너지는 내가 살아 있는 동안은 안 바뀐다. 바꾸려고 하면 나는 감옥에 가고 몇 번 흔들다가 손자쯤에서 겨우 흔들어진다. 그것도 위대한 것이다. 이 개념을 정확히 이해해야 한다. 심적 위치나 공간적 위치를 다르다고 생각하지 마라. 출처는 하나다. 공간적 위치에서 파생되어 나온다.

두 번째 변수는 운동이다. 운동에너지를 담당하는 파라미터가 속도이다. 속도가 대단하다. 속도가 물리변수로 나오는 곳이 ‘특수상대성 이론’이다. 특수상대성 이론은 등속도의 세계이다. 속도는 거리를 시간으로 미분한 값이다. 모든 것은 패턴의 학문으로 바뀌고 있다. 패턴은 미분에서 드러난다. 자연의 변화 패턴은 함수에서 나타나는 것이 아니고 그 함수를 미분한 값에서 나타난다. F=ma는 어마어마한 공식인데, a는 미분이기 때문에 이 공식이 수천가지 숨겨진 패턴을 드러나게 해 준다. 함수를 미분한 값을 수학자들은 패턴이라고 한다. 미분을 모르면 패턴을 알 수 없다. 데이터 패턴을 찾아내는 것을 ‘통계’라고 하고, 우연의 패턴을 찾아내는 것을 ‘확률’이라고 한다. 도형의 패턴, 형태의 패턴을 찾아내는 것을 ‘기하학’이라고 하고, 대수방정식의 숫자의 패턴을 찾아내는 것을 ‘해석학’, ‘대수학’이라고 한다. 움직임의 패턴을 찾는 것을 ‘미분’이라고 한다. 패턴은 함수가 아니고 주어진 함수를 미분해서 나온다. 움직임이 속도이다.

지금 다루는 함수는 위치와 속도의 함수이다. 위치는 위치에너지, 속도는 운동에너지이다. 운동에너지와 위치에너지 차를 최소화하는 것이 ‘해밀턴의 원리’이다. 그것이 우주가 만들어진 설계도이다. 우리는 우주의 아들이니 당연히 우리 인생도 그 설계 속에서 작동해야 한다. 지금부터 마지막 시간까지 이 이야기를 다양한 수식으로 보여주는 것 밖에 없다.

직각좌표계에서는 위치를 x, y라 쓴다. 여기서는 범함수를 다룬다. x 대신에 q를 쓴다. q는 일반화 좌표이다. 그래서 여기서 유도된 공식은 어떤 변형된 환경에서도 작동한다.

q(t, α)=q(t)+αη(t).

q는 t와 α의 함수이다. q(t, α)는 q의 시간만 있는 함수 q(t)에 α가 상수로 붙고 도입 파라미터로 η(t)가 붙는다. q(t, α)는 지구상 살아가는 사람들의 모든 패턴이라고 보면, q(t)는 평균적인 사람들의 패턴이고, α는 동일한 자극에도 사람마다 반응이 달라지는 파라미터이다. 어떤 사람에 대해서 알고 싶으면, 이 사람이 어떤 공간상 점에 있고, 어떤 환경에 가면 어떤 방식으로 작동할 것인가를 이 사람에게 자극을 주었을 때 어떻게 반응하는가를 연속적으로 계산해보자는 것이다. 그러면 α에 대해서 미분해 본다.

그림으로 그려보면, 시간t 에 대한 인생행로가 있다. 충격을 받으면 바뀌는데, η(t)이다. 그런데 사람마다 다르므로 비례상수 α를 두어 αη(t)가 되어 행로가 바뀐다. 뭐가 됐든지 출발점(t1)에서는 동일하다. 도착점(t2)도 동일하다. 우리 삶은 모호하고 명확하다. 우리 삶은 두 터널이다. 입구와 출구는 명확하다. 인간은 태어났고 언젠가 죽는다. 두 포인트는 명확한데, 두 포인트 사이의 터널 속의 길은 무한에 가까운 인생경로를 간다. 이를 네루다(Pablo Neruda)는 ”명확한 모호함“이라고 했고 이것을 수식으로 나타낸 것이다.

태어나고 죽는 두 포인트는 전 인류가 동일하다. 이것을 수식으로 η(t1)=η(t2)=0 이라 적는다. 모든 문제를 푸는데 이 조건이 들어간다. 100년 후에도 살아남을 위대한 수식들이다. 경로는 g(t)와 αη(t)만큼 변화된 g(t, α)가 있다. 먼저 시간에 대해서 미분하면 dq/dt = q’+αη’ 이 된다. q를 α에 대해서 편미분하면, ∂q/∂α=η(t) 가 된다. 이러한 기본지식을 알고 로테이션으로 들어간다. 이것은 위치의 함수로 포텐셜에 관계된다. 그런데 우리가 구하려는 것은 라그랑지안이다.

#2

라그랑지안의 정의는 L(q, q’)의 함수이다. L=T-V(운동에너지-위치에너지)이다. 작용(S)은 라그랑지안(L)을 시간(t)에 대해서 적분해준 값으로 S=∫Ldt 로 적는다. 위치함수가 주어졌고, 라그랑지안이 나왔고, 궁극적으로는 작용을 건드리는 것이다.

물리학 전체에서 보면, 대칭이 작용에 명령을 내리고, 작용(S)에서 에너지(E)가 나오고, 에너지에서 힘(F)이 나온다. 이 과정이 미분이다. 반대로 가는 과정은 적분이다. 수학의 전체 흐름은 ‘수 -> 도형 -> 움직임 -> 패턴’으로 바뀌고 있다. 움직임이 미분이고, 현재 모든 수학은 패턴이다. 데이터의 패턴이 통계이고, 도형의 패턴이 기하학이고, 우연의 패턴이 확률이고, 움직임의 패턴이 물리학이다. 패턴은 미분값이다. 물리적 현상의 모든 패턴은 함수에서 드러나지 않는다. 속도는 거리에 대한 미분으로 가장 원초적이다. 속도는 공간과 시간의 비이기 때문이다. 우주의 모든 것은 공간과 시간의 변수 속에 조율되고 있다. 그래서 속도가 우주에서 가장 중요한 패턴이다. 속도가 느려지면 죽음에 가까워진다. 늙으면 움직임의 속도가 떨어진다. 물리학은 움직임의 패턴이다. 그래서 물리학을 하려면 미분을 잘해야 한다.

적분과 나누기는 할 필요 없다. 집합이론을 공부해보면 군에서 역원, 항등원을 쓰면 빼기와 나누기가 사라진다. 더하기의 다른 버전이 빼기이고 곱하기의 다른 버전이 나누기이다. 나누기, 빼기는 공부 안해도 된다. 공부하니 0-5를 못한다. 항등원 개념을 알면 빼기는 더하기의 한 형태이다. 집합론을 몰라서 생기는 비극이다. 이것을 알면 자연과학 전체가 몇 가지 연산 밖에 없음을 알게되고 자유로워진다.

지금 어마어마한 데롤 건드리고 있다. 대칭은 끝판왕이다. 대칭까지 오는데는 ‘아벨->갈루와->조르당->리->킬링’ 다섯 명이 했던 100년간의 연구를 다 알아야 된다. 다 끝나고도 대칭이 손에 안 잡혀 입에 거품 물고 넘어져야 한다. 이번 여덟 번 강의의 최종 타겟은 대칭이 뭔지를 수식으로 보여주는 것이다.

결론부터 말해주면, 대칭은 3가지 개념으로 되어 있다. 첫 번째 구조, 두 번째 보존, 세 번째 변환이다. 이 세가지를 붙여서 말하면, ‘구조를 보존하는 변환’이다. 변하라는 말이다. 단, 조건이 있는데, 구조를 건들지 마라는 것이다. 60년 전과 나는 바뀌었지만 안 바뀐 것이 있다. 내 구조는 안 바뀌었다. 눈, 코, 비례관계는 안 바뀌었다. 이름도 안 바뀌었다. 바뀌는데 내가 개가 되면 안 된다. 구조를 유지하라는 말이다. 이 조건을 수식으로 바꾸면 우주를 장악할 수 있다.

개를 변형시켜 고양이로 바뀌는 중간이 있다. 그 선을 넘으면 고양이가 된다. 그 선까지 유지하고 바꾸라는 것이다. 이것이 대칭이론이다. 그 경계선이 국경이고 구조이다. 구조를 바꾸면 내가 내가 안된다. 사람과 멧돼지와 결혼할 수 없다. 사자와 호랑이가 교배한 라이거는 그 다음 새끼를 놓을 수 없다. 이것이 대칭 이야기이다. 인간의 종이 있고, 원숭이 종이 있는데, 종이야말로 대칭의 생물학 버전이다.

구조를 바꾸어 내가 멧돼지가 되면 안된다. ”저게 어찌 인간이냐?“라고 할 때, 인간의 구조를 넘어선 것이다. 구조를 넘어서면 인간취급하지 않는다. 이때의 구조는 내면의 심성이다. 그 사람의 외모는 안 바뀌었으나 내면이 바뀐 것이다. 대칭은 무수히 많다. 그 사람의 성품, 지식, 형태에 대한 대칭이다. 대칭은 하나에 대해서 대칭이다. 구조를 보존하는 변환, 바뀌는데 경계를 넘지 말라는 것이다. 그것이 우리 머릿속에 있는 개념이다.

대칭은 지금은 언감생식이다. 대칭을 공략하려면 작용이 자극해야 한다. 작용이 다 짊어지고 간다. 작용만 알면 힘까지 다 안다. 총알 날아가고 인공위성 날아가고 반도체, 인공지능 만들어지는 이야기이다. 작용의 파라미터가 플랑크상수이다. 플랑크상수를 다루는 학문이 양자역학이다.

작용은 라그랑지안을 시간에 대해 적분한 값이고, 라그랑지안은 운동에너지와 위치에너지 차이로 분위기 파악하라는 말이다. 분위기 파악 잘하는 사람을 센스있다고 한다. 센스있는 사람 주위에는 사람이 모이고 그 사람이 권력을 잡고 국회의원이 되고 대통령이 된다. 얼마전 고향의 고등학교에 가서 여러분은 3가지만 모으면 된다고 했다. ”돈을 모으든지, 사람을 모으든지, 지식을 모으라“. 이 주제이다.

작용의 변동량을 0로 만드는 것 δS=0 이 우주의 설계도이다. δS는 변분이다. S를 흔들어보라는 것이다. 먼지 털어도 안 나오면 신이 그 사람 편이 된 것이다. 감옥에 가도 금방 풀려 나온다. 그런 삶을 살면 된다는 것이 이 공식이다. 이 공식을 부르는 이름이 앞으로 100년 동안 바뀌지 않는 물리학의 법칙으로, 해밀턴의 원리(Hamilton’s principle)이다. 어마어마한 공식이다. 입자물리학이 여기서 다 나온다.

S는 L로 정의된다. L이 무엇인가? 분위기, 센스있는 인간이 되자는 것이다. 분위기를 파악했다는 것은 내 주변에 산이 있는지, 늪이 있는지, 주변에 전문가가 있는지 파악하라는 것이다. 지금부터 구체적으로 들어간다. S를 α와 어떻게 링크를 시키는가의 문제이다. α에 대한 S의 미분으로, α는 우리 인생에서 일어나는 충격이다. 충격이 왔을 때 내가 얼마나 초심을 잃지 않고 안 흔들리는가를 수학으로 표현한 것이다.

#3

S=∫Ldt, L(q, q’)

S=∫L(q, q’)dt

α에 대해서 S를 편미분하면

∂S/∂α = ∫(∂L/∂q)(∂q/∂α) + (∂L/∂q’)(∂q’/∂α) dt 로 임시로 넣고 빼주었을 뿐이다.

∂q/∂α=η(t) 가 되고,

q’= dq/dt = q’+αη’ 이므로, ∂q‘/∂α=η’가 된다. 이때 η’=d/dt η(t)이다.

따라서 ∂S/∂α = ∫(∂L/∂q)η dt + ∫(∂L/∂q’)η‘ dt 로 분리가 된다.

d/dt (η ∂L/∂q’) = (dη/dt)(∂L/∂q’) + η(d/dt)(∂L/∂q’)

이 수식을 적분해주면(t1~t2의 정적분이다)

∫ d/dt (η ∂L/∂q’) dt= ∫ (dη/dt)(∂L/∂q’) dt + ∫ η(d/dt)(∂L/∂q’) dt

미분과 적분이 만나면 서로 사라지므로 1이 된다.

(η(t) ∂L/∂q’)의 t1~t2의 정적분 값은 0이다. 왜냐하면 η(t1)=η(t2)=0이기 때문이다.

그러면 우리가 왜 이런 작업을 했는가? ∫(∂L/∂q’)η‘ dt 값을 알고자 하는 것이다.

위 식의 ∫ (dη/dt)(∂L/∂q’) dt 가 ∫(∂L/∂q’)η‘ dt 과 같다.

수학은 어려운 것이 있으면 같은 것을 찾아내서 공략한다. ’동어반복‘이다. 고층건물 지을때 태풍이 불면 얼마나 흔들릴까를 계산하려면, 기계공학으로 풀려면 너무 복잡하므로 안전도 설계를 전자회로로 바꾸어 놓고 풀면 바로 답이 나온다. 이와같이 안 풀리는 수학은 돌아간다.

#4

따라서 ∫ (dη/dt)(∂L/∂q’) dt = - ∫ η(d/dt)(∂L/∂q’) dt를 집어 넣으면,

∂S/∂α = ∫η(∂L/∂q) dt - ∫ η(d/dt)(∂L/∂q’) dt 가 되고,

=∫ η〔(∂L/∂q)-(d/dt)(∂L/∂q’)〕 dt 가 된다.

어떤 충격이 와도 흔들림이 없다는 것은 ∂S/∂α = 0라는 것이다. 그러면 적분값이 0가 되려면 안의 수식이 0가 되어야 한다.

따라서 (∂L/∂q)-(d/dt)(∂L/∂q’) = 0 이다. 자연과학에서 가장 위대한 수식이다. ”오일러-라그랑지안“ 방정식이라고 한다.

이 수식을 풀면, L=T-V이므로, 용수철에 추 m을 달아 당긴 것을 x라고 하면, 운동에너지 T=1/2mv2이고, 위치에너지는 용수철에서 후크의 법칙(Hooke's law)으로 F=kx이므로 이를 적분해주면 1/2kx2가 된다.

따라서 L=1/2mv2+1/2kx2가 된다.

(∂L/∂x)=0+kx, (∂L/∂v)=mv+0 가 된다.

(∂L/∂v)=mv+0를 미분하면 d/dt (∂L/∂v)=m(dv/dt)=ma가 된다. ‘뉴턴방정식’이 나왔다.

q를 x로 q’을 v로 바꾸어 놓으면

(∂L/∂q)-(d/dt)(∂L/∂q’) = 0에서 ∂L/∂q = kx, (d/dt)(∂L/∂q’)=ma가 된다.

따라서 kx-ma=0 이되고, F=kx로 용수철 공식이 바로 나온다.

이 방정식에 수십 가지 방정식이 들어 있는데, 그중 하나가 뉴턴방정식이다. 일망타진, 게임 끝이다.

뉴턴방정식은 입자물리학에 쓸 수 없다. F=ma는 벡터량을 다루는 것이다. 위치와 방향을 고려해준다. 이것을 계산하는 것은 어마어마한 계산량이 된다. 그런데 지금 우리가 다루는 공식은 스칼라량이다. 초등학교부터 일반인이 다루는 양이 스칼라량이다. 숫자밖에 없다. 스칼라는 적분량이다. 덩어리가 크다. 에너지는 힘을 적분한 량으로 E=∫Fdx=1/2kx2+C가 되는데, C는 상수로 무수히 많은 숫자가 들어와도 된다. 그래서 큰 덩어리가 되고 미분값은 그 중의 일부이다. 스칼라량이므로 방향이 없어 누구나 다 쓸 수 있다. 그리고 스칼라이기 때문에 필드를 다룰 수 있다. 그래서 입자물리학까지 갈 수 있다. F=ma는 특수용이고, (∂L/∂q)-(d/dt)(∂L/∂q’) = 0 은 범용이다. 그래서 우주를 다 설명한다.

#5

(∂L/∂q)-(d/dt)(∂L/∂q’) = 0이 낳는 옥동자를 보여준다. 그러면 비밀이 풀린다. 모든 물리학의 출발은 이 공식이 낳는 옥동자에서 시작한다. 이 공식은 작용레벨이다. 아들이 나와서 에너지 만들고, 손자가 힘을 만들어 모든 물리학을 설명했다.

우주의 구조를 만든다. 먼저 무대장치가 있어야 하고, 달과 사람과 별의 물질이 되는 에너지를 만든다. 해밀턴 역학이라고 하는데, 통상적으로 고전역학이라고 한다. 고전역학을 모르기에 상당히 많은 사람들이 양자역학을 헷갈려한다. 양자역학이 어려운 이유는 양자역학의 배꼽을 보지 못해서이다. 양자역학의 출생의 비밀은 바로 (∂L/∂q)-(d/dt)(∂L/∂q’) = 0 방정식이다. 여기서 양자역학이 바로 태동한다. 누구집 아들인지 알기에 양자역학에 주눅들지 않는다. 유명인도 고향에 가면 목에 힘 못 주는 것과 같다. 양자역학의 애비를 보는 순간 안 밀린다. 애비를 보여준다.

(∂L/∂q)는 내가 변하는데 주위의 분위기를 얼마나 아는가이다. (d/dt)(∂L/∂q’)는 속도에 대해서 변동량이다. 그래서 (∂L/∂q)-(d/dt)(∂L/∂q’) = 0 로 두면 어떤 충격이 와도 흔들림이 없는 ∂S/∂α = 0 라는 것이다. 대부분 인생은 0가 아니다. 0로 둘 때 우주의 구조가 나온다. 이 공식 이름이 ‘오일러-라그랑지안 방정식’이다.

이 공식을 풀어본다.

첫 번째, 위치에 대해서 라그랑지안을 풀어본다. 라그랑지안은 분위기, 눈치, 센스이다. 위치에 대한 라그랑지안을 풀면 어느 위치에 가도 센스 있는 사람을 출산한다.

따라서 (∂L/∂q)=0 로 두면, 반드시 (d/dt)(∂L/∂q’) = 0 가 되어야 한다. 그러면 (∂L/∂q’)는 상수가 되어야 한다. 첫 번째 옥동자 탯줄 끊는다. 애를 낳았으니 이름을 지어야 한다. 멧돼지가 아니고 인간의 아들임이 정해져 있다. 그것이 상수이고 구조이다. 이름을 (∂L/∂q‘)≡P라고 붙인다. 우주의 운동량(P)이 출현한다. 우주에서 운동량이 먼저 출현한다.

L=T-V이다. T도 에너지고, V도 에너지이다. 결과 L도 에너지이다. 위치를 바꾸어도 에너지 변화가 없는 것을 대칭이라고 한다. 아들이 멧돼지 안되고 인간 그대로인 것이다. 속도(q’)에 대해서 바뀌지 않은 것이다. L은 에너지 차원이니 E=mC2으로 적을 수 있다. C는 속도이다. 그러면 m(q’)2으로 바꿀 수 있고 (∂L/∂q‘)에서 m(q’)2 / q’ = mq’이 된다. 이것이 mv로 운동량 P가 된다. 드디어 운동량이 왜 출현했냐면, 운동량보존의 법칙은 ‘공간대칭’이다. 속도는 공간상으로 이동한다. 공간상으로 위치를 바꾸어도 운동량은 바뀌지 않는다. 여기서 공간이 출현한다. 4차원 버전으로 바꾸면 에너지와 한 형제이다. 4차원 시공에서 시간성분의 운동량을 에너지라고 한다. 운동량이 물리학에서 첫 번째 아들, 장남이다. 공간대칭에서 운동량이 나왔고 P를 운동량 상수라고 부른다. 상수이기에 시간에 대해 미분하면 0가 나온다.

두 번째는 시간에 대해서 라그랑지안을 풀어본다. 라그랑지안은 분위기, 눈치, 센스이다. 시간에 대한 라그랑지안을 풀면 과거에도 미래에도 센스있는 사람을 출산한다.

따라서 (∂L/∂t)=0로 두면, 풀기가 어렵다. 만들어 내야 한다. L이 q와 q’의 함수임을 명심해야 한다. 따라서 주었다 뺏기로

(∂L/∂t)=(∂L/∂q)(∂q/∂t)+(∂L/∂q’)(∂q’/∂t) 로 적는다.

(∂q/∂t)=q’, (∂q’/∂t)=q’‘, (∂L/∂q’)=P, (∂L/∂q)=d/dt(∂L/∂q’)=d/dt(P)=P’이 된다.

그러면 (∂L/∂t)=(∂L/∂q)(∂q/∂t)+(∂L/∂q’)(∂q’/∂t)=P’q’+Pq’‘=d/dt(Pq’)이 된다.

따라서 (∂L/∂t)=d/dt(Pq’) 이므로, d/dt(q’P)-(∂L/∂t)=d/dt(q’P-L)=0가 된다.

d/dt(q’P-L)=0은 미분방정식이므로 (q’P-L)은 상수가 되어 두 번째 옥동자가 나온다.

이제 이름을 지을 수 있다.

(q’P-L)≡H, 에너지상수(H)라고 하고, 이를 다루는 학문을 ‘양자역학’이라고 한다. 시간에 대한 대칭이 에너지이다. 여기서 시간독립 슈뢰딩거방정식(Time-independent Schrodinger equation)이 나온다. 시간독립은 시간에 무관하다는 말이고 시간에 대해 대칭이라는 말이다.

#6

이제 도입부가 끝났다. 왜 이것을 하는가? 주기율표 때문이다. 주기율표는 왼쪽 2열은 s궤도이다. 오른쪽 6열은 p궤도이다. 가운데 덩어리는 전이금속으로 30개 원소가 들어가는 블록을 d궤도라고 한다. s궤도 대신에 l=0, p궤도는 l=1, d궤도는 l=2이다. 아래의 희토류를 f궤도라고 하는데 l=3이다. 모두 l이다. 우리가 알아야하는 것은 l이다. 이제부터 l로 간다. l을 알면 주기율표 다 아는 것이다. l의 4개 숫자로 주기율표가 완전히 설명된다. l이란 무엇인가?

물리학과에서 양자역학 코스를 하면서 헉헉대다가 학기 말 책 덮을 때 짜투리로 배우는 것이 l인데, 종 땡 치고 여름휴가 가고, 잊어버리고 졸업하고 물리학과 나왔다고 한다. 경계지점에 애꿋게 l이 걸려서 주기율표 통째로 다 날아간다. 그래서 대한민국 대부분 사람은 주기율표 모른다. 구조를 모르고 넘어가기에 가가 간 줄 모른다. 가가 어디서 왔는지 찾아내야 한다. 보통의 양자역학 책에 나오는 식으로 하면 다 지쳐서 ”졌다!“ 한다. 수식만 해도 3페이지가 된다. 못 따라간다. 교수들도 그냥 넘어가 버린다. 앞에 한 수식은 l로 가기 위한 전 단계 작업이다. 어마어마한 수식임을 알게 된다.

운동량 상수 P가 출현했고, 에너지 상수 H가 출현했다. 그런데 어떻게 상수가 되느냐? 운동량도 변수이고 에너지도 변수이다. 운동량과 에너지가 상수가 되는 조건을 찾아낸 것이다. 에너지와 운동량보다 상수라고 하는 것에 꽂혀야 한다. 상수는 숫자이다. 그래서 이 방정식이 스칼라이고 파워풀 해진다. 범용이고 우주의 모든 것을 설명할 수 있는 방정식이 된다. ‘상수’라 적고 ‘대칭’이라고 읽는다. 이때 대칭은 보존이다. 바뀌지 않는다. 공간이동에 대해서, 속도변환에 대해서 바뀌지 않는다. 대칭의 정의는 구조, 보존, 변환이다. 경계가 있다. 인간의 경계까지는 인간임이 보존이 된다. 그것이 상수이다. 상수를 대칭이라고 읽어야 한다. 어마어마한 말이다.

다시 돌아가서 H=q’P-L이다. 에너지 상수이다. 상수이기 때문에 얘를 가지고 작업하면 뭔가가 똑똑 떨어지고 우주의 구조가 보인다. 우주의 구조 속에서 주기율표가 나온다는 것을 보는 순간 원더풀이다. 이 우주의 구조가 보이고, 주기율표는 너무나 구체적이고 92가지 원소가 왜 출현했는가를 이러한 추상적인 방정식에서 꼬집어서 손자쯤에서 나옴을 보여준다. 주기율표는 구조를 그대로 가지고 있다. 양성자 2개를 헬륨이라고 하고, 양성자 80개를 수은이라고 하고, 양성자 79개를 골드라고 한다. 골드와 수은은 다르다. 구조가 유지가 되는 것이다. 같은 이야기이다. 보존하려면 에너지 상수에서 시작하여야 한다.

S=∫Ldt,에서 L을 바꾸어 보자. ‘동어반복’이다. 단 논리적으로 동어반복하면 반드시 필연성으로 간다. L은 범함수(q, q’)로 구체적으로 규정하지 않았다. 여기서 L=q’P-H로 규정하고 집어 넣는다.

따라서 S=∫Ldt=∫(q’P-H)dt이다. q’=dq/dt이므로,

S=∫Pdq-∫Hdt가 된다.

작용(S)을 흔들어 본다. 그런데 안 흔들리는 것을 찾아내라는 것이다. 번개가 쳐도 안 흔들리는 것이 있다는 것이다. 그것이 깨달음이다. ‘어딜 가도 적당히 잘한다’는 것이다. ”수처작주 입처개진(隨處作主 立處皆眞)“, 어딜 가도 주인공이 되라는 것이다.

흔든다는 것을 수학적으로 ‘변분’이라고 한다. 변분은 일반화 함수를 다루고, 최적곡선을 찾는 것이다. 건물설계 때 ”가장 바람에 대해 안전한 시스템이 뭘까?“를 수학적으로 다루다가 만들어진 미분의 사촌이다. 변분은 시스템을 흔들었을 때 변동량을 0로 두고 안전설계를 한다. 변분기호가 δ이다. S를 흔들면 δS이다.

S=∫Pdq-∫Hdt에서,

δS=∫δPdq + ∫Pδdq - ∫δHdt가 된다.

d와 δ은 교환가능하므로, ∫Pδdq=∫Pdδq이다.

따라서 δS=∫δPdq + ∫Pdδq - ∫δHdt 가 된다.

∫d/dt(Pδq)dt = ∫ P’δq dt + ∫ Pδq’ dt = ∫ (dP/dt)δq dt + ∫ P(d/dt)δq dt 를 풀어주면,

정적분 t1~t2에서 Pδq=0가 되고, ∫ dPδq = ∫ Pd(δq)가 된다.

따라서 ∫ Pd(δq) = -∫ dPδq이다.

#7

δS=∫δPdq + ∫Pdδq - ∫δHdt 에 넣어주면

δS=∫δPdq - ∫ dPδq - ∫δHdt 가 되고,

묶어주면 δS=∫〔(δP(dq/dt) – (dp/dt)δq) - δH〕dt 이다.

H=(q, p, t)의 함수이고, L=(q, q’)의 함수이다.

따라서 δH/δt=(δH/δq)(δq/δt) + (δH/δp)(δp/δt) + (δH/δt)(δt/δt) 가 되고,

δS=∫〔(δPq’ – p’δq) - ((δH/δq)δq+(δH/δp)δp)〕dt

= ∫〔(q’-(δH/δp))δp – (p’+(δH/δq)δq)〕dt

따라서 δS=0 이 되려면,

q’=∂H/∂p가 나오고, p’=-∂H/∂q 가 나온다. 이를 ‘해밀토니안 운동방정식’이라고 한다.

#8

범용함수 F의 운동량 함수 F=F(q, p, t)로 주어졌을 때,

∂F/∂t=(∂F/∂q)(∂q/∂t) + (∂F/∂p)(∂p/∂t) + (∂F/∂t)(∂t/∂t)

= (∂F/∂q)q’ + (∂F/∂p)p’ + (∂F/∂t) 이 된다.

따라서 q’=∂H/∂p, p’=-∂H/∂q를 집어 넣으면,

∂F/∂t = (∂F/∂q)(∂H/∂p) - (∂F/∂p)(∂H/∂q) + (∂F/∂t)

푸아송 괄호(Poisson bracket)를 써서

F=〔H, F〕+(∂F/∂t) 로 적고, 고전물리학이 완성된다.

모든 운동함수 F가 있다면, 그 속성은 헤밀토니안(H)과의 교환이라는 것이다. 푸아송 괄호(Poisson bracket)는 교환자(commutator)라고 한다. 교환자를 알아야 대칭의 수학적 세계로 들어간다. 대칭의 세계에서 연속대칭, 미분의 세계를 나타내는 대칭은 푸아송 괄호에 다 들어가므로 ‘고전물리학의 완성’이라고 하는 것이다.

교환자는 non-아벨 시스템이다. ”아벨->갈루아->조르당->리->킬링” 의 수학사에서 아벨이 했던 것은 연산자 A, B가 있다면 A×B=B×A가 가능한 세계를 다룬다. 수 체계를 물리법칙은 그대로 따른다. A×B=B×A 교환이 가능한 세계를 입자물리학자들은 ‘아벨시스템’이라고 부른다. 그런데 여기는 아벨시스템이 아니다. A×B≠B×A이다. 이것을 쓰는 로테이션이 〔x∧, p∧〕=iħ 로 양자역학 불확정성원리에 쓰는 괄호이다. 이것이 고전역학과 양자역학을 가르는 분기선이다. 살 떨릴 정도로 중요한 결과이다. 운동시스템의 시간적 변화를 알려면 헤밀토니안을 알면 다 되는데, 0가 되면 고전물리학이 되고, 0가 아니면 양자역학이 되는 것이다.

교환자는 (–)로 되어 있다. 이 양이 같아지면 0가 된다. 그러면 ∂F/∂t는 시간에 대해서 바뀌지 않는 운동시스템이 된다. 안 바뀌는 시스템을 연구해서 주기율표가 나온다. 주기율표의 l값이 궁극적으로 여기에서 나온다.

해밀토니안 운동방정식은 어마어마한 공식이다. q’=∂H/∂p에서 에너지만 알려주면 속도를 다 알려주겠다는 것이다. p’=-∂H/∂q에서 p’=dp/dt=d(mv)/dt=m(dv/dt)=ma가 나와서 F이다. F=ma 뉴턴방정식이 p’에 들어가 있다. 에너지함수만 보여주면 다 만들어주겠다는 것이다. 주기율표 만들어주고 원자폭탄 만들어 준다는 것이다.

#9

‘푸아송 괄호’로 고전물리학은 끝이 나고, 여기에 플랑크상수 곱해주면 여기 패턴이 그대로 양자역학으로 바뀌고 첫 번째 아들인 l값이 나오는 과정이다. 양자역학으로 넘어가면 먼저 일아야 하는 것이 각운동량이다. 원운동이기 때문이다. 그래서 각운동량의 교환자를 찾아야 한다.

각운동량의 z방향 성분 Lz을, 원자핵 주위를 전자가 돌 때 전자가 갖는 파동함수의 구면조화함수 Ylm으로 하면, Lz Ylm = mħYlm 으로 놓는다. l, m은 주기율표에 관계된다.

다음은 L2Yλm = λħ2Yλm이 나온다.

다음 오퍼레이터는 L+=Lx+iLy가 나오고,

마지막으로 교환자(commutator)가 나와서 〔Li, Lj〕=EijkLk 으로 고전물리학 버전이다.

양자화하면 플랑크상수가 들어와, 〔Lx, Ly〕=iħLz 가 된다.

Eijk는 x, y, z, x, y, z의 치환이다. 대칭의 다른 말이 치환이다. 결국은 패턴의 재배열 밖에 없다. 1이나 –1 밖에 없다. Lz는 z방향에 대한 미분을 하는 오퍼레이터이다. 그래서 ‘교환자’라 했을 때, ‘자’는 오퍼레이터이다. 〔Lx, Ly〕=0가 되는 것을 ‘고전역학’이라고 한다. 0가 아니면 양자역학이다. 0이 아닌 세계를 ‘Non-abelian, 비가환’이라고 한다. 입자물리학 책을 읽어보면 가환군, 비가환군이라는 말이 계속 나온다.