#0

보통 60대 넘어기면 자기 고집과 고지식이 있어 어렵다. 안 바뀐다. 이 간단한 것을 왜 시킨대로 안했지? 추천해준 사람이 나를 염려해 준 사람들인데, 이 간단한 것을 왜 안 했지? 박자세 노트를 쓰라고 10년 동안 이야기를 했다. 필기도구를 확정하는데도 10년 걸렸다. 이런 걸 안 한다. 냉면 먹을 때 양념 넣는 것을 3년 동안 안 따라하다가 오늘 따라 해 봤더니 맛이 다르다. 따라하는 것이 최고의 창의적 학습법이다.

오늘 이 강의가 15년째이다. 다 몇 번씩 한 강의이다. <양자역학> 책에 다 나온다. 세계적인 유명한 교과서가 있는데 항상 계산하면 딱 안 맞아 들어가고, 장황하게 설명되어 있다. 읽어보면 어떤 느낌이 드는가 하면, 첫 번째는 하나도 몰라, 두 번째는 더 골치가 아프다. 온갖 복잡한 이야기를 늘어놓고 수식도 복잡하다. 읽다가 지친다.

지난 시간 한 수식은 아무것도 없다. 반 페이지면 끝난다. 무엇을 느끼는가? 내가 해 놓고도 너무 아름답다. 군더더기 다 빼 버리고 에센스만 드러내니 머리가 시원해진다. 내가 30년 헤맨 곳으로 다시 접근하는 것을 보면 어떤 마음이 들겠는가? 미학은 필요없는 모든 것을 제거하는 과정이다;. 좋은 문장은 정보전달하는 것 외에 모든 것을 뺀다. 조각품 중에 가장 비싸게 팔린 것이 알베르토 자코메티(1901~1966)의 ‘걷는 사람(Walking man, 1960)’이다. 높이 평가받은 이유는 ‘걷는다’는 행위 이외는 모든 것을 빼 버렸다. ‘걷는다’는 본질을 눈으로 보여 주었다.

본질이 드러나야 한다. 엔트로피에서는 ‘상태수’가 본질이고 상태수를 확률로 연결하겠다는 발상이 인류역사를 바꾼 물리적 혁명이다. 군더더기 없다. 얼마나 간단한가? 평균 n개의 입자가 들어갈 확률이다. 열역학 기본법칙을 써서 엔트로피가 나온다. 어떤 설명도 쓰고 싶지 않다. 이 이상 더 큰 설명이 없다.

다음 수식은 전자기학 맥스웰방정식의 에센스이다. 공식이 4개로 한 달간 배워야 하지만, 그럴 필요 없다. 가장 중요한 것이 ‘비오-사바르 법칙(Biot–Savart law)’으로 자기장과 전기장이 어떻게 링크되는가? 회전과 시간적 변화가 링크된다. 그것이 전파의 발산이다. 발산은 미분인데 벡터이다. 수식만큼 핵심을 얘기하는 것이 없다. 물리학자들은 대부분 말이 없다. 말할 필요 없어서이다. 미분한 값의 벡터라는 데 다 들어있다. 궁극적으로 파동방정식을 유도한다. 그러면 곧장 빛의 속성이 드러난다. 아름다운 정도가 아니고 숨이 막힌다.

다음 수식은 슈뢰딩거방정식을 그대로 유도해낸다.

다음 수식은 ‘보즈-아인슈타인 통계’, ‘페르미-디락 통계’로 물리학 교과서 부록에 나오고 어느 양자역학 강의에서도 풀어주지 않는다. 그런데 다 계산해 봐야 한다. 입자의 평균을 계산해내는 핵심은 Summation(∑)을 계산하는 과정이 전체 이론의 90%이다. 계산 과정이 2개로 나눠지기에 우주가 2개로 나눠진다. 보존이냐, 페르미냐이다. 단순한 수식이 아니다. 물리 에센스이다. 보존은 한 에너지 준위에 무한대가 들어갈 수 있고, 페르미는 1이냐 0이냐이다. 전체 의미는 “n=0~∞, n=0, 1” 밖에 없다. 공부할 것 많지 않다.

다음 수식은 우주론적으로 물리학에 많이 쓰이는데 설명이 희박한 것이 h이다. 여기에 다 걸려있다. 그래야 로벨리(Carlo Rovelli) 책 3권을 이해할 수 있다. 다 풀어보면 이 이야기밖에 없다. 로벨리는 n차원까지 펼쳐놓은 것이다. 플랑크 길이, 플랑크 면적, 플랑크 부피라는 말이 나온다. 이 우주에 있는 모든 빛 알갱이를 설명하는데 가장 밑에 들어가는 이론, 궁극적으로는 h밖에 없다. h를 깨달으면 입자물리학과 우주론이 확연히 온다. “정사각형 몇 개인가?” 카운트하는 것이다. 직사각형 면적 “3×5=15”가 무슨 말인가? 왜 직사각형 면적이 ‘가로×세로’인가? 원의 면적이든 직사각형 면적이든 정사각형 몇 개인가를 카운트하는 것밖에 없다. 우주의 가장 짧은 길이가 있다. 그것이 플랑크 상수(h)이다. 가장 짧은 면적은 가로 h와 세로 h이다. 그보다 더 적은 길이는 정의되지 않는다. 너무나 간단한 말이다. 이 말을 전에는 이해하지 못했다. 우리가 알 수 있는 것은 카운트하는 것뿐이다. 미분.적분 없다. 궁극적으로 우주에는 정사각형밖에 없고, 정사각형을 구성하는 길이의 최소가 있다는 것이다. 그것이 플랑크 길이이다. 그것이 여기에 들어가 있다. 그랬더니 플랑크 곡선으로 우주의 모든 빛의 비밀이 실용적으로 밝혀졌다.

그런데 왜 이런 구조로 되어 있을까? Ψ=ei(kx-ωt), Ψ=ei/ħ(px-Et) 두 식으로 따라갔다. 일부로 맞추어 냈다. 열역학, 전자기학, 양자역학, 통계역학으로 다른 학문이다. 4개의 다른 분야 학문이 위 공식으로 통합이 되었다. 이것이 집합론적 사고이다. 인문학도, 지질학도 가져다 넣을 수 있다. 아름다움을 느끼는가? 군더더기 없다. 차라리 아무 설명 없이 책 한 권을 만들고 싶다. 추사 김정희의 병풍화처럼 느껴진다.

#1

“공부할 것이 많다고 생각하는 사람은 틀렸다”는 것을 오늘도 증명한다. 자연과학은 “e” 하나밖에 없다. 결정적 역할을 한 사람이 오일러(Leonhard Paul Eule, 1707-1783)이다. e가 왜 자연과학 전체를 대변할 수밖에 없는가를 깨닫게 되면 자연과학이 잡다한 학문이 아님을 알 것이다. e의 정확한 이름은 ‘자연상수(natural constant)’이다. 자연의 모든 현상은 e로 표현할 수 있다고 생각하면 된다.

e가 도대체 무엇인가? 내가 자연과학 한 지 40년 되었는데, 이것 하나로 귀결되어 흐믓하다. e는 초월수이다. e에 x를 붙이면서 모든 자연과학이 시작되었다. e는 숫자이다. 2.71정도 된다. 그러면 ex는 무엇인가? x는 ‘뭐든지’이다. 뭐든지 대입해 보라는 것이다. 3x라면 x에는 숫자만 들어간다. 그런데 ex에는 x에 숫자만 들어가는 것이 아니다. 그래서 자연과학을 다 통합해 버린다.

ex를 분해해보라. 파깨비는 수학은 ‘동어반복’이라고 하였다. 이것을 철저히 실행해보라, 수학은 이해하는 학문이 아니다. x는 미지수이다. 당신이 아무거나 정하면 된다는 것이다. 그것이 ‘동어반복’이다. 꼼짝 못 하는 2개의 뜻은, e는 상수니까 나는 바꿀 수 없다. x는 미지수이니 정해지지 않았으니 내가 정하면 된다. ‘동어반복’하면 된다.

예를 들어 5는 상수이다. 바뀌지 않는다. 미분은 변화이다. 변화하지 않으니 0가 된다. 미분을 몰라도 동어반복하니 0임을 알게 된다. 또한 5의 정보는 0+5, 1×5가 있다는 것이다. 항등원 개념이다. 수많은 숫자 공부를 했는데 알고보니 숫자는 1과 0밖에 없다. 나머지는 허상이다. 더하기 항등원은 0, 곱하기 항등원은 1이다. 사칙연산에서는 더하기밖에 없다. 각각 하나씩 더해준 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.. 이것이 주기율표이다. 주기율표가 양성자 개수, 숫자의 나열이다.

e는 상수라 못 바꾼다. x는 미지수이니 정해지지 않았다. 정해보라. 첫 번째 x=1이라고 집어 넣는다. 실수를 넣은 것이다. 자유로움이다. 숫자는 1, 0밖에 없으니 1을 넣어본다. e1은 무엇인가? e가 하나이다. 동어반복이다. 자연과학은 논리적 동어반복일 뿐이다. 다음은 뭘 넣고 싶은가? 0을 넣으면 1이 된다. 1, 0 밖에 없다. 두 번째는 허수 i를 넣어본다. ei이다. 세 번째는 A를 넣어본다. A는 파워풀하다. A는 행렬이다. eA이다. 네 번째는 x에 ε(d/dt)로 미분이 올 수 있다. f(x)을 오퍼레이션 하면, ε(d/dt)f(x)=f(x+ε)으로 ε만큼 평행이동을 한다. 어마어마한 이야기이다. 다섯 번째는 복소수 z을 넣을 수 있다. z=reiΘ형태로 쓴다.

ex에 실수도 넣고, 허수도 넣고, 행렬도 넣고, 미분도 넣고 복소수도 넣을 수 있다. 자연과학을 다루는 모든 수 체계, 연산도 다 된다. 어떻게 그럴 수 있는가? ex를 처음 발견한 사람이 누구인가? 네이피어(John Napie, 1550-1617)이다. 네이피어가 1614년 책을 썼다. 복잡한 곱셈의 로그 계산표를 만들었다. 로그의 밑을 10으로 상용로그를 하다가 그보다 편한 밑을 찾다보니 2와 3 사이의 값을 넣으니 복잡한 곱셈이 간단히 된다는 것을 알게 되었다. 오일러에 오면서 e함수를 연구했다.

수학 역사의 넘버1이 미분이었다. 미분이 왜 중요한가? 문과생을 이과생이 윽박지를 때 미적분 이야기를 한다. 모두 미적분에 주눅 들어있다. 모든 사람이 미적분에 핸디캡을 갖는다. 서울대도 학생들이 들어왔는데, 미적분을 못하니 공대교수들이 따로 가르친다. 미적분을 모르면 대학과정의 자연과학, 공학 과정의 문제를 풀 수 없다. 자연과학생들이 인문학생 약점을 찌를 때 “미분도 모른다”고 하면 게임 끝난다. 미적분을 아는 장점이 무엇인가?

수학은 양을 비교하고, 다음은 기하학적 도형계산, 움직임의 계산, 지금은 패턴이다. 패턴이 왜 중요한가? 예측이다. 인문학은 예측을 안 한다. 우리 삶은 1시간 후를 모른다. 그러나 로케트가 올라가려면 몇 초 후를 예측해야 한다. 패턴을 읽는다는 것이 예측인데, 패턴은 드러나 있지 않다. 어떻게 볼 수 있는가? 패턴은 도함수로 미분한 값이다. 우리가 보는 세계는 f(x)로 함수값이다. x에 집어넣어 보라는 것이다. x를 넣으면 값이 나온다. 패턴은 미분값 f’(x)에 있다. 미분을 인류가 알게 된 것이 1600년대 이후이다. 미분은 ‘변화율’이다. 율은 rate이다. 시간 t1에 대한 t2의 rate를 알면, 현재 t1을 알면 미래 t2를 알 수 있다는 것이다. 인간은 피식자이다. 피식자는 도망을 가는 존재이다. 그래서 불안하다. 미래를 모른다는 것이다. 그런데 인간이 1600년대 이후 미래를 계산할 수 있는 원리를 알게 되었는데, 그것이 미분이다. 미분이라는 지적혁명은 인류가 한 단계 도약하는 어마어마한 사건이다.

그러면 모든 자연에서 미분을 하면 되는데 그러다가 날 샌다. 바다면적 늘어나는 공식 만들어보라. 사람 키가 자라는 함수는? 어떤 사람이 화가 날 때의 함수는? 모른다. 미분하면 다 나온다는 원리는 아는데, 미분함수를 알 수가 없다. 사용하는 것은 극단적으로 대포 날아가는 것 계산하는 것만 가능하고 인간의 마음은 계산을 못한다. 자연의 함수가 무한히 많고 거의 계산을 못하는데, 계산 안 해도 아는 것이 딱 하나 있다. ex이다. 미분 안 해도 미분값을 안다. f(x)=f’(x)가 같은 유일한 함수이다. 이것으로 ex가 자연의 모든 현상을 설명할 수 있게 되었는가를 감을 잡을 수 있다. 모르는 함수를 e로 표시하면 된다. e로 표현하면 함수의 변화율을 알 수 있다.

#2

미분은 어떻게 정의했는가? f’(x)의 정의는 5가지를 알아야 한다. ‘동어반복’이다.

첫 번째는 lim ∆x->0 일 때, f(x+∆x) - f(x) / ∆x이다.

두 번째는 lim h->0 일 때, f(x+h) - f(x) / h 이다.

세 번째는 lim 2h->0 일 때, f(xn+1) - f(xn-1) / 2h 이다.

네 번째는 lim h->x 일 때, f(x) - f(h) / x-h 이다.

다섯 번째는 lim h->0 일 때, A(x+h) - A(x) / h 이다.

오늘은 이것 5개, #1의 5개, 10개로 동어반복 한다. 10개로 다 끝날 수 있다. 따라하면 된다.

첫 번째 미분을 이용해서 ex 출생의 비밀을 밝힌다. 출생이 묘하다. 첫 번째 lim ∆x->0 일 때, f(x+∆x) - f(x) / ∆x 정의를 쓴다.

f’(x)= lim ∆x->0 일 때, f(x+∆x) - f(x) / ∆x 이다.

f(x+∆x) = f(x) + f’(x)∆x (단, ∆x->0 이다)

함수값 f(x)가 미분한 값 f’(x)와 같도록 적어보라. ex의 특성이다.

f‘(x)=f(x) 가 되고, 이를 f(x+∆x) = f(x) + f’(x)∆x 에 집어 넣는다.

f(x+∆x) = f(x) + f(x)∆x 가 된다.

묶으면, f(x+∆x) = (1+∆x)f(x) 이다.

이제부터는 x에 집어 넣어보면 된다.

x=0을 넣으면,

f(∆x) = (1+∆x)f(0) 이다.

f(x)를 모르니, f(0)는 알 수 없다. 모르면 당신이 정하라. 숫자는 0과 1밖에 없으니, 1을 한번 넣어본다. 그래서 f(0)=1로 둔다.

그러면, f(∆x) = (1+∆x)이다.

x=∆x를 넣으면,

f(2∆x) = (1+∆x)f(∆x) 이다. f(∆x) = (1+∆x) 이므로,

f(2∆x) = (1+∆x)2 이 된다.

x=2∆x를 넣으면,

f(3∆x) = (1+∆x)f(2∆x) 이다. f(2∆x) = (1+∆x)2 이므로,

f(3∆x) = (1+∆x)3 이 된다.

x=(n-1)∆x를 넣으면,

f(n∆x) = (1+∆x)f〔(n-1)∆x〕 이다. f〔(n-1)∆x〕 = (1+∆x)n-1 이므로,

f(n∆x) = (1+∆x)n 이 된다.

n∆x=x 로 두면, ∆x=x/n 이 되고,

∆x->0 이므로, n->∞가 되고,

n->∞가 될 때, f(x)=(1+x/n)n이 되고, 이것이 ex이다.

따라서, lim n->∞가 될 때, f(x)=(1+x/n)n = ex 이 정의이다.

x=1이면, lim n->∞가 될 때, (1+1/n)n= e1 이다.

#3

테일러급수 공식이 e 다음으로 중요한 공식이다.

f(x)=(f(0)/0!)x0+(f’(0)/1!)x1+(f’‘(0)/2!)x2+(f’‘’(0)/3!)x3+(f(4)(0)/4!)x4.....

여기에 f(x)=ex를 집어 넣으면,

ex=(e0/0!)x0+(e0/1!)x1+(e0/2!)x2+(e0/3!)x3...

e0=1이므로, ex=(1/0!)x0+(1/1!)x1+(1/2!)x2+(1/3!)x3....= ∑n=0~∞ (1/n!)xn 으로 적는다.

첫 번째, x=1을 넣으면,

e1=(1/0!)10+(1/1!)11+(1/2!)12+(1/3!)13....= (1/0!)+(1/1!)+(1/2!)+(1/3!)...= ∑n=0~∞ (1/n!) 이다.

또 e1의 정의는 ∫1->e (1/x)dx=1이다.

그래서 e1을 (1+1/n)n, ∑n=0~∞ (1/n!)과 함께 3가지로 쓸 수 있다. 동어반복이다.

두 번째, x=ix을 넣으면,

eix = lim n->∞, (1 + ix/n)n =cosx + isinx 이다.

따라서 ei = lim n->∞, (1 + i/n)n 인데, 계산할 수 있다.

n=∞ 대신 100을 넣어주면 (1 + i/100)100 은 허수로 값이 나온다.

세 번째, x=A을 넣으면,

A=행렬이다. 단순한 2×2 행렬도 복잡해서 계산 못한다. 그런데 대각선 행렬( α 0 / 0 β)은 계산가능하기에 물리학자들이 사랑한다. 대각선에만 숫자가 있다. 입자물리학의 겔만 행렬, 파울리 행렬 모두 대각선 행렬이다. eA가 가능하다는 것이 황당하다. 머리에 모자가 아닌 트럭을 쓰는 꼴이다. 이 말이 무슨 말인가? 행렬이 지수에 붙는다. 양자역학에서 어마어마하게 중요하다. 일단은 말이 안 된다. e는 숫자이다. 2라고 하면, 숫자에 행렬이 지수로 붙으면 아무것도 할 수 없다. 2에 행렬승은 어쩌자는 건가? 황당한 일이다. e가 아무리 신비스럽다 해도 숫자이다. 그런데 어떻게 숫자에 행렬승을 하는 것인가? 그런데 된다는 것이다. 고등학교 과정에는 이해하기 어렵다. ‘동어반복’해 보자.

ex=(1/0!)x0+(1/1!)x1+(1/2!)x2+(1/3!)x3....로 표현할 수 있다면,

x=A를 집어 넣어보자.

eA=(1/0!)A0+(1/1!)A1+(1/2!)A2+(1/3!)A3......

(1/0!)A0+(1/1!)A1+(1/2!)A2+(1/3!)A3......이 말이 되는가를 보자.

A0=1이라면 항등원 개념이다. 안 바뀌려면 대각선행렬 (1 0 / 0 1)로 표시되어야 한다.

A1=(α 0 / 0 β) 대각선 행렬이라면,

A2=(α 0 / 0 β)(α 0 / 0 β)=(α2 0 / 0 β2)

An=(αn 0 / 0 βn)이 된다.

그러면 이제 eA를 표현할 수 있다. 본질은 없다. 우주는 표현밖에 없다. 그래서 우주는 숫자로 되어 있다는 말이다.

eA=(1 0 / 0 1) + (α 0 / 0 β) + (1/2!)(α2 0 / 0 β2) + (1/3!)(α3 0 / 0 β3) ....

eA=(1+α+(1/2!)α2+(1/3!)α3+.... 0 / 0 1+β+(1/2!)β2+(1/3!)β3+... )

eA=(1+α+(1/2!)α2+(1/3!)α3+.... 0 / 0 1+β+(1/2!)β2+(1/3!)β3+... )

1+α+(1/2!)α2+(1/3!)α3+....=eα,

1+β+(1/2!)β2+(1/3!)β3+... =eβ 가 되므로,

eA=(eα 0 / 0 eβ)

아름다운 수식이 된다. 대각선 행렬이면 지수로도 표현이 가능하다. 어마어마한 혁명이다.

행렬이 지수로 붙으면서 어마어마한 폭발을 일으킨다. 그래픽카드 회사가 세계를 뒤덮고 있는 이유는 행렬을 계산하기 때문이다. AI 공부의 절반은 행렬공부이다. 행렬이 들어가면 선형변환이다. 대칭은 구조를 보존하는 변환이다. 선형변환은 모양은 그대로 가고, 크기를 확대 축소하거나 회전한다. 그래픽카드는 행렬계산으로 x축으로 얼마 옮기고 크기를 3배하라는 것이다. 고급과정에서는 대칭회전을 시키라는 것인데 모두 행렬이고 그래픽 처리이다. 수학에서는 선형대수학이라고 한다. 선형은 직선, 대수학은 방정식을 푸는 것이다. 대수에 들어가는 숫자 세트가 들어가는데, 한 점을 말하는데, 선을 그을 수 있다. 그것이 벡터이다. 그래서 행렬은 곧장 벡터로 바뀐다. 그래픽을 벡터변환이라고 한다. 요즘 시대 직업에서는 행렬공부가 필수이다. 행렬이 날개를 달게 된 것이 e의 행렬로 들어가게 된 것이다. 대각선 행렬을 n번 곱하는 것이 지수를 곱해주는 것과 같다. 그래서 1번 하나, 1000번 하나 원리적으로는 같은 시간이 든다. 대각선행렬이 아니면 너무 복잡해 계산 못 한다. 그래서 임의의 행렬을 대각선 행렬로 바꾸어 놓는 기법이 중요해진다. 이것이 핫 이슈이다. 어떤 행렬이든 대각선 행렬로 바꾸어 놓을 수 있다면 모든 상황이 끝난다. 그래서 입자물리학 들어가면 대각선 행렬로 바꾸는 것이 큰 챕터이다. 어마어마한 것이다. 입자물리학 문을 연 것이다.

#4

네 번째, x=ε(d/dx) 을 넣으면,

x에 미분을 집어 넣은 것이다. 이것도 말이 되나? 느낌이 오는가? 느낌이 안 오면 인문학 세계에 너무 살아서이다. 양자역학에 들어간다. 모든 것을 해결해 준 것이 e이다.

eε(d/dx) f(x) = f(x+ε)가 된다.

도대체 무슨 말인가? 유튜버가 출처이다. 수학에서 어마어마하게 중요한 방정식이라고 한다. e 지붕에서 미분을 한다. 그랬더니 내가 이동을 해 버렸다. f(x)에 대해서 좌표변환 한 것이다. ‘평행이동’이다. 지구 표면에서 우리가 하는 일은 대부분 ‘평행이동’이다.

모든 것의 근본은 테일러 전개이다. 미분가능한 모든 함수에 가능하다. ex를 테일러 전개하면,

f(x)=ex=(f(0)/0!)x0+(f’(0)/1!)x1+(f’‘(0)/2!)x2+(f’‘’(0)/3!)x3+(f(4)(0)/4!)x4.....

전부 다 동어반복이다. x대신 ε(d/dx) 을 집어 넣으면, eε(d/dx) 도 된다는 것이다. 테일러 전개가 대단하다. 학부시절부터 박사과정까지 공학을 하면서 가장 감동을 받았던 함수전개가 테일러 전개이다. “일반인들은 이것을 몰라 수학을 못 하는구나!” 하는 생각이 들었다. 이 모든 것이 테일러 전개에서 나온다.

eε(d/dx)=(f(0)/0!)〔ε(d/dx)〕0+(f’(0)/1!)〔ε(d/dx)〕1+(f’‘(0)/2!)〔ε(d/dx)〕2+...

이때 f(0)=f’(0)=f’‘(0)=1이다. 왜 1이 되는가? 동어반복이 어렵다.

따라서 eε(d/dx)=(1/0!)〔ε(d/dx)〕0+(1/1!)〔ε(d/dx)〕1+(1/2!)〔ε(d/dx)〕2+...

여기에 f(x)를 해주면,

eε(d/dx)f(x)=〔(1/0!)〔ε(d/dx)〕0+(1/1!)〔ε(d/dx)〕1+(1/2!)〔ε(d/dx)〕2+... 〕f(x) 가 된다.

f(x)=mx+b라고 하면,

eε(d/dx)f(x)=〔1+ε(d/dx)+(1/2)ε2(d2/dx2)+... 〕(mx+b)를 해주는 것인데,

1차방정식은 2번 미분하면 0가 되므로, 이후는 해 줄 것이 없으므로,

eε(d/dx)f(x)=(mx+b)+εm 가 된다. m으로 묶으면,

eε(d/dx)f(x)=m(x+ε)+b 가 된다.

따라서 eε(d/dx)은 함수f(x)를 x->x+ε 로 하는 오퍼레이션이다. 양자역학적으로 어마어마한 사건이다. x축에 대해 ’평행이동‘시킨 오퍼레이터이다.

지난시간 양자역학 들어가는 e는 ei/ħ(px-Et) 라고 하였다. 이를 링크시킬 수 있다.

ei/ħ(px)를 끄집어내고 x->x-ε을 넣으면, ei/ħ(p(x-ε))이 된다면,

이때의 변환 오퍼레이터는 e-ε(d/dx) f(x) = f(x-ε) 가 된다.

물리학의 기본원칙으로 이렇게 둔다고 하는 것이 있다.

ei/ħ(p(x-ε))를 2개로 나누면, ei/ħ(px)e-i/ħ(pε) 되고, 여기서 뒤에 것만 빼내면,

e-i/ħ(pε)를 e-ε(d/dx)와 비교해서 같아지려면,

i/ħ(pε)=ε(d/dx) 가 되야 하므로,

i/ħ(p)=(d/dx) 가 된다. p는 운동량이다. 따라서 P를 구하는 운동량 오퍼레이터는

P=(ħ/i)(d/dx)로 쓸 수 있다는 것이다.

어마어마한 수식이다. 운동량은 ’질량×속도‘로 선형변환의 위치이동을 말한다. 위치이동에 대해서 공간대칭이 일어나는 대칭축을 보장하는 것이 ’운동량 보존의 법칙‘이다. ’시간대칭‘은 에너지고, ’공간대칭‘은 운동량이다. 공간대칭은 서울 있거나 제주도 있거나 동일하게 적용된다는 것이고, 서울에서 제주로 가려면 공간이동을 해야 한다. x->x+ε 이 공간이동을 한 것이다. 우리나라에서 미국까지 공간이동 한 것이다. 지구에서 달까지도 공간이동한 것이다. 지구에서나 달에서나 동일한 물리법칙을 만족하는 것이 공간대칭이다. 공간대칭하는 오퍼레이터 “P=(ħ/i)(d/dx)”를 보여 준 것이다. 이 오퍼레이터를 이해해야 양자역학을 할 수 있다. 양자역학 교과서에 나오는데 설명이 없다. 고전물리를 양자화하면 이렇게 된다고 하고 시작한다. 그것을 오늘 증명했다. e에서 나온 것이다. 느낌 오는가?

#5

지금까지 e의 4가지 응용을 하였다. 다음은 미분의 정의 5개를 가지고 응용에 들어간다. 이 중 3번째 정의가 충격을 주었다. 어느 책에서도 이야기하지 않는다. DMT PARK 유튜버가 만든 동영상 한 편에서 보여준다. 20편 동영상이 모두 명품이다. 모든 교과서에 쓰고 있는데 이해가 안 되는 부분을 양자역학 교과서를 펼치고 시작한다. 결론은 ’미분이 매트릭스‘라는 것이다. 이를 증명했다. 누구나 배우는 것을 근본적인 자리에서 물었다. 미분이 왜 행렬인가? 어마어마한 이야기이다. 수학사 2000년이 수와 양에서 기하학에서, 움직임을 다루는 것으로 왔다. 그 중 넘버1이 미분이다. 미분은 패턴이고, 미분이 행렬이라면 최고에 행렬이 있다는 것이다. 고급수학 올라가면 거의 다 행렬이다.

행렬이 무엇인가? 행렬의 정의는 간단하다. 지금 여러분처럼 교실에 가로세로 배열되어 있는 것이다. 그것밖에 없다. 숫자의 가로세로 배열이다. 근본은 너무 황당할 정도로 단순하다. 행렬은 벡터이고 도형이라고 하는데, 지금까지 미분이 행렬이라고 한 사람을 보지 못했다. 그런데 DMT PARK이 “미분은 행렬”이라고 증명했다. 거기서 ’불확정성 원리‘가 증명이 된다. 동어반복을 통해 미분이 행렬이라는 것을 보여준다.

세 번째 미분의 정의 f’(x)는 lim 2h->0 일 때, f(xn+1) - f(xn-1) / 2h 이다. n이 정수이므로 n+1과 n-1 차이는 2이다. 그것이 밑의 2h와 링크되어 있다.

f’(xn+2)= f(xn+3) - f(xn+1) / 2h

f’(xn+1)= f(xn+2) - f(xn) / 2h

f’(xn)= f(xn+1) - f(xn-1) / 2h

f’(xn-1)= f(xn) - f(xn-2) / 2h

f’(xn-2)= f(xn-1) - f(xn-3) / 2h

그러면, 양쪽을 묶어서 행렬로 표시가 된다.

〔f’(xn+2) f’(xn+1) f’(xn) f’(xn-1) f’(xn-2)〕

= 1/2h 〔0 –1 0 0 0 / 1 0 –1 0 0 / 0 1 0 –1 0 / 0 0 1 0 –1 / 0 0 0 1 0〕

〔f(xn+2) f(xn+1) f(xn) f(xn-1) f(xn-2)〕

따라서 f’(x) = df(x)/dx = 1/2h〔 〕f(x) 이므로,

d/dx = 1/2h〔 〕 가 되기 때문에, 미분이 곧 행렬이 된다.

d/dx = 1/2h〔0 –1 0 0 0 / 1 0 –1 0 0 / 0 1 0 –1 0 / 0 0 1 0 –1 / 0 0 0 1 0〕 이다.

전치행렬 〔d/dx〕T=-d/dx가 된다. 양자역학 책에 전치라는 말을 쓰므로, 전치는 행렬이기에 쓸 수 있는 것인데, 교과서에 따로 설명이 없어 DMT PARK이 미분의 정의로부터 행렬임을 증명한 것이다. 유튜버가 대단하다. 각 동영상을 3번 이상 봐야 한다. 파깨비와 DMT PARK의 주장의 공통점은 ‘동어반복’밖에 없다는 것이다. 어떤 신비도 없다. 동어반복 할 수 없는 상황이 되면 내가 기준을 잡으면 된다. 동어반복의 귀결은 필연성으로 간다. 필연성에서 나온 것이 ‘불확정성 원리’이다.

#6

이제 운동량 오퍼레이터 P=(ħ/i)(d/dx)와 결합시킬 수 있다. 운동량 오퍼레이터가 미분으로 표시되므로 운동량 오퍼레이터는 행렬이라는 것이다.

P=(ħ/i)(d/dx)

=(ħ/i)(1/2h)〔0 –1 0 0 0 / 1 0 –1 0 0 / 0 1 0 –1 0 / 0 0 1 0 –1 / 0 0 0 1 0〕

바로 운동량이 행렬로 표시되었다.

X라는 오퍼레이터도 행렬로 표시를 하면, X는 실수이므로, 대각선행렬이 된다.

X=〔xn+2 0 0 0 0 / 0 xn+1 0 0 0 / 0 0 xn 0 0 / 0 0 0 xn-1 0 / 0 0 0 0 xn-2〕

양자역학에서 대각선행렬이 중요하다. 정의에 의해서 만들어진 것이다.

이제 두 오퍼레이터를 곱해본다.

XP=(ħ/i)(1/2h)〔0 -xn+2 0 0 0 / xn+1 0 -xn+1 0 0 / 0 xn 0 -xn 0 / 0 0 xn-1 0 –xn-1 / 0 0 0 xn-2 0〕

PX=(ħ/i)(1/2h)〔0 -xn+1 0 0 0 / xn+2 0 -xn 0 0 / 0 xn+1 0 –xn-1 0 / 0 0 xn 0 –xn-2 / 0 0 0 xn-1 0〕

패턴이 보이는데, 대각선을 중심으로 차이가 1이다. 1이 h값이다.

XP-PX=(ħ/i)(1/2h)(-2h)〔대각선행렬〕이 된다.

XP-PX=-(ħ/i)〔대각선행렬〕

=iħ〔1 0 0 0 0 / 0 1 0 0 0 / 0 0 1 0 0 / 0 0 0 1 0 / 0 0 0 0 1〕

〔1 0 0 0 0 / 0 1 0 0 0 / 0 0 1 0 0 / 0 0 0 1 0 / 0 0 0 0 1〕은 단위행렬이므로 행렬의 항등원 1로 적을 수 있다.

따라서 XP-PX=iħ가 되고,

교환자로 적으면 〔xΛ, PΛ〕=iħ 가 된다. 이를 “불확정성 원리”라고 한다.

가장 아름다운 증명이다. 교환해서 0가 되면 고전역학, 0가 아니므로 양자역학으로 들어왔다. 교환해서 0가 안 되는 기원이 바로 ‘미분이 행렬’이기 때문이다. 행렬로써 증명을 했다. 왜 행렬을 공부해야 되는지 이해했는가?

#7

미분의 5번째 정의는 lim h->0 일 때, A(x+h) - A(x) / h 이다. A는 면적이다. 적분의 뿌리를 보여준다. x, y 좌표에서 직선을 그었을 때, x축의 a에서 b사이에 x가 있어서 a~x까지 면적을 A(x)라고 하고, x~b거리를 h라고 하면, a~b 전체면적은 A(x+h)이다. 그러면 x~b의 면적은 높이가 f(x)가 되므로 f(x).h가 된다. A(x+h)-A(x)=f(x).h가 된다. 그런데 문제가 있다. 수학적으로 같지가 않다. f(x).h는 직사각형 면적이라 에러가 생긴다. 근사치로 적어야 한다. 완벽히 맞으려면 h폭이 줄어들면 된다. 그 개념이 lim이다.

따라서 lim h->0, A(x+h)-A(x)=f(x).h가 된다.

이것은 lim h->0, A(x+h)-A(x) / h =f(x)가 된다.

이것은 미분의 정의가 되어 dA(X)/dx=f(x)가 된다.

적분을 하면, ∫dA(X)=∫f(x)dx 가 되고,

정리하면 A(x)=∫f(x)dx 가 되어, 면적이 곧 f(x) 적분이 된다.

적분이 면적을 구하는 것도 동어반복이다. 배웠는데 증명을 안 해봤다. 이제 증명이 되었다. 수학사에서 적분계산법과 미분이 독립적으로 진화되어 오면서 연결되었다고 생각을 못했다. 두 개념이 융합되고 면적 구하는 과정에서 역함수 관계에 있음을 알게 되었다. 책에 없고 다 유튜브에서 찾아낸 것이다. 미분개념을 그대로 썼더니 적분과 연결되었다.

#8

마지막으로 원자폭탄 터뜨린다. 미분하셔야 한다. (xy)’=x’y+xy’이 된다. 다 증명을 해야 한다. 다음 시간에 증명할 것이다. 물리는 왜 안 나오나? 지금까지 ‘평행이동’했고, ‘불확정성 원리’ 했다. 이제 3번째 물리를 한다. ‘특수상대성’이다.

l=l0√1-(v/c)2

m=m0 / √1-(v/c)2

t=t0 / √1-(v/c)2

m = m0 / √1-(v/c)2 을 양쪽에 제곱하면,

m2 = m02 / 1-(v/c)2

m2 – m2(v/c)2 = m02

m2c2– m2v2 = m02

미분을 하면, m0와 C는 상수이므로,

2mC2dm-2mv2dm-2vm2dv=0

2m을 빼내면, 역원을 곱해주는 것이다.

C2dm=v2dm+vmdv 가 된다.

또한 E=F.x이므로, dE=F.dx이다.

F=dP/dt = d(mv)/dt=m(dv/dt)=ma가 된다.

따라서 dE=(dp/dt)dx=(dx/dt)dp=vd(mv) 가 되므로

dE=mvdv+v2dm 이 되어 이는 곧 C2dm가 같다.

따라서 dE=C2dm 이 되어, 적분해주면

∫dE=∫C2dm 이 되고,

E=C2∫dm, E=mC2 이 된다.

미분밖에 안 썼다. 왜 미분을 공부해야 하는가? 원자력 폭탄, 원자력 발전소이다. 미분만 알면 물리 90% 다 푼다. 미분의 정의 5가지 기억하면 50가지 방정식을 다 푼다. 그중에 한 개를 보여 준 것이다.

#9

오늘 충격적인 것은 “미분이 행렬”이라는 것이다. 행렬이므로 교환법칙이 성립 안 한다. 그것이 ‘불확정성 원리’이다. 위치 오퍼레이터와 운동량 오퍼레이터가 ‘매트릭스’라고 하면 끝난다. 교환법칙이 성립되면 뉴턴역학, 성립 안 되면 양자역학이다. 두 번째는 평행이동하는 연산자가 운동량 연산자라는 것이다. 미분의 정의에서 왔다. 세 번째는 자연상수 e가 어마어마한 것이라는 것을 4가지로 보여주었다.

나머지 1개는 복소평면에 들어가는 Z인데, 결론만 얘기하면, 어떤 실수도 허수승을 하면 크기가 1인 단위원으로 바뀐다. 반지름 1인 원이 우주에 있는 모든 것을 포함한다. 단위원을 분석하면 곡선이 없다는 것을 알게 된다. DMT PARK을 참조했다. eix가 있다면, ei(x+∆x)는 무엇인가? i는 90도 회전이다. 그러면 eix가를 미분하면 ieix가 된다. 거기에 미소변환 ∆x를 해주면, 길이가 커지는데, ∆x->0로 가면서 i가 곱해지니 90도를 꺽게 된다. 2개의 벡터의 합 벡터도 1이 나온다. 이 과정이 연속되면서 원운동이 된다. 원은 허상이다. 수직으로 올라가는 운동이다. 원이 되는 이유는 ∆x->0로 보내면 무한히 접근하면서 원이 된다. 동영상을 보라. 10년 전부터 내가 직감으로 “곡선은 없다”고 했는데, 바로 그 이야기이다. 무한소의 직선의 벡터로 곡선을 해체해 버렸다. 벡터는 직선이다. 곡선도 무한히 짧게 해서 직선으로 바뀐다. 궁극적으로 직선밖에 없다. 그래서 동어반복이라는 세계가 펼쳐진다. 학문은 동어반복이고 선형변환이고 직선밖에 없다. 선형변환을 무한히 줄이면 곡선을 표시할 수 있다. 곡선은 우리 감각이 만든 착각이다.