#0

자연상수, 느낌 오는가? 5개로 모아 보았다. 하나로 모아진 자료를 찾아야 한다. 작심하지 않으면 박사학위하고 20년 지나도 모른다. 뭐가 중요한지 봐야 한다. 미분정의를 5개로 적어 놓은 것을 본 적 있는가? 면적을 가지고 미분정의 내린 것은 처음 봤다. 교과서에 없다. 깔끔하게 모으기까지 20년 걸린다. 대부분 사람들은 늙어 죽을 때까지 모르고 지나간다. 박자세 학습의 독특함은 모아 놓는다는 것이다. 이렇게 모으기까지 어마어마한 시간이 걸렸다. 한 장의 모음이 갑자기 나오지 않는다.

왜 어른들은 과학을 공부하기 어려운가? “그것해서 뭐 할래?” 내가 뭘 전달하려고 특수상대성 수식을 풀었을까? 과학을 싫어하는 사람도 E=mC2은 보았을 것이다. 내가 다시 해주는 이유는 미분만 할 수 있으면 다할 수 있다는 것을 보여주려고 한 것이다. “아! 미분은 공부해야 하는구나?” 미분을 몰라 원자력발전소 스톱하면 올여름 열사병으로 죽어갈 것이다. 진짜 삶과 연결된다. 냉장고, 에어콘과 관련된다. 이런 아이디얼한 개념들이 실재와 연결되는데, 딱 하나 ‘미분’이라는 것이다.

대학 때 경북대 전자공학과 들어가 힘들어했다. 공부 너무 싫어했다. 그래서 절간 다니며 스님 법문 들었다. 그때는 전자공학이 시작되는 때였다. 앞에 선배는 진공관을 공부하던 때였고, 트랜지스터로 넘어가는 접점이었다. 한 학기 내내 강의 듣는데 한 마디도 못 알아들었다. 친구들도 어렵다고 하였다. 누구 잘못인가? 교육학의 중요한 문제다. 80% 가르치는 사람 잘못이다. 공부가 싫어서 군에 갔다. 군에서 각오하고 영어공부를 했다. 군 복무 끝날 무렵 공부를 왜 못 따라갔는가를 스스로 물어보았다. 내가 전념하지 않았다는 것을 밝혔다. 복학하면 공부 제대로 해 보겠다고 하였다. 공부를 잘하고 못하고는 머리 좋고 나쁘다는 것 보다 압도적으로 중요한 것은 ‘올인’하는 것이다. 시간 80% 쏟아붓는 거와 95% 쏟아붓는 거는 3배 이상 차이난다. 그 원리를 다들 잘 모른다. “공부할 때 머리 식히며 딴 책 보자”는 안된다. 그렇게 되어있지 않다. 군대가 가르쳐 준 것이다. 복학 전에는 70명 중 60등이었는데, 복학하고는 1등을 했다. 그때 깨달은 것이 공부는 머리 좋고 나쁜 것이 아니라 1단계에서는 전념을 하는 데서 승패가 난다.

우주강의 8주 동안에는 일체 다른 것 하면 안 된다. 이것 하는 동안에는 다른 책 유혹받아 10% 시간을 쓴다면 90% 놓쳐버린다. 사람이 집중할 수 있는 기간이 석 달이다. 절에서 백일기도가 그냥 나오지 않았다. 딱 적정설계 강의가 8주이다. 8주 동안은 100m 전력질주하고 끝나고 나서 철학책 보라는 것이다. 그러면 철학책 보는 실력도 같이 올라간다.

나는 만점을 98점이라고 본다. 대부분 잘했다고 하면 95점이다. 보통 열심히 하면 85점부터 의미있다. 95점에서 98점은 어마어마한 차이다. 95점 노력을 2배 해야 98점이 된다. 공부는 발악하는 것이다. 지금 두 달 반 보낸다면 다른 것 섞지 마라. 하고 싶은 것은 다음에 하라는 것이다. 85점은 1년 지나면 10%밖에 안 남는다. 90점은 30% 남고, 95점 올라가면 50% 남는다. 그런데 98점까지 올라가면 1%도 소실 안된다. 그래도 가지고 있다. 지금 물리학 강의하다가 준비 안 하고 분자세포생물학 강의하더라도 분자식 모두 기억해낼 수 있다. 5년 전 98점까지 밀어붙여 놓았기 때문이다. 탈진할 정도로 공부는 밀어붙여야 한다.

해마다 수식 질려서 이번 학기 못한다는 사람 나온다. 이번 학기 안되면 임종 전까지 어렵다. 95점과 98점은 1000배 차이 난다. 98점은 이해하는 단계가 아니라 마지막에 까무러치는 단계까지 와야 한다. 오늘 ‘힉스메커니즘’을 할 건데 아무도 못 따라온다. 당연하다. 노벨상 30개 나온 분야고, 지금도 대한민국에 이거 이해한 사람 없다. 그런 걸 강의하는데, 수식 어렵다고, 이해 못 했다고 하는 것 말이 안 된다. 사자보고 “무섭다” 하는 것은 말이 안 된다. 원래 사자는 무서운 것이다.

나도 무섭다. 매끌매끌하다. 그래서 말뚝을 박아 놓는다. 미리 예방주사 맞고 들어간다. “Dμ∅=( )” 모르는 것을 자책하면 안 된다. 당연히 모르는 것이다. 그냥 보라는 것이다. 손이 자동으로 써질 때까지 가야 한다. 더듬거리지 말고 주루륵 쓸 수 있어야 한다. 최종단계 중 하나이다. 중간 풀다가 안 되면 여기로 건너뛰면 된다. 여러분은 공부가 지치도록 공부한다. 챕터 마다 핵심의 중간 섬 지대를 확보해 놓아야 한다. 벽지 바르는 것과 가다. 중간중간 말뚝 안 박아 놓으면 나가다가 끊어지면 못 나간다. 말뚝 박아 놓으면 모르면 건너뛰면 된다. 자잘한 것 신경쓰는 사람들은 공부 못 한다. 가장 공부 못하는 사람이 1장부터 하다가 포기한다. 하다가 문제 생기면 다음 단계로 건너뛰라는 것이다. 그래서 마지막까지 오면, 백 하면서 구멍 난 것을 메꾸면 된다. 이 방법이 훨씬 빠르다. 중간중간 실패를 해 봤기 때문에 끊어진 다리의 정보를 가지고 있다. 그것이 실력이다. 헤매는 길의 포인트를 알고 있다. 여러분은 밋밋하게 하고 있다. 중간에 못을 박아야 한다. 그래서 물어보면 천편일률적이다. 강의 대단했는데, 아는 것 이야기해보라 하면 “어..어..” 밖에 못한다. 중간말뚝을 알고 있다면 그것 이야기하면 된다. 지난 시간 한 것 다 잊어버렸다. 그런데 빨간 것만 못 박아 놓으면 다시 구성할 수 있다. 자연상수 구하는 공식의 핵심이 뭔가? 못 대답한다. 4시간 강의했는데 물어보면 “어‘’”한다. 빨간 것만 따라오면 된다.

실재로 ‘놀람반응’이 일어나지 않아서이다. 공부의 알파와 오메가는 놀라워하는 것이다. 그것만 있으면 뭐든지 할 수 있다. 어제 뉴스에 우리나라 초등학생들이 의대반 학원에 다닌다고 한다. 대부분 반응이 말이 안 된다고 한다. 말이 되는 것을 증명해 보겠다. 강남의 꽤 많은 학원에서 ‘의대반’이라고 푯말을 적어 놓았다. 나는 안 나무란다. 그것이 맞다고 생각한다. 우리나라 교육에 바람직하다고 본다. 초등 1학년에게 미적분을 가르친다고 한다. 기성교육 받은 사람은 말이 안 된다고 한다. 내가 수없이 많은 미분 이야기 하면서 더하기 밖에 없다고 했다. 초등학교 1학년도 더하기 할 수 있다. 걔들 여러분들보다 더 미분 잘할 수 있다. 우리나라가 효율적인 길로 가고있는 것이다. 초등학생에게 미분적분 가르쳐야 한다. 반대로 어른들에게는 안 된다. 내가 4시간 목이 아프도록 강의해도 핵심을 물으면 모르겠다고 한다. 초등학생은 그렇지 않다. 초등학생에게 당연히 미분적분 다 가르쳐야 한다.

어른은 미분적분 안된다. 초등학생은 된다. 우리나라가 애들 미리 교육하는 것 맞다. 와인버그(Steven Weinberg, 1933~2021)는 미국의 유명한 사립학교인 브롱스과학고등학교(Bronx High School of Science) 출신이다. 세계적 천재 물리학자가 4-5명 나온 학교이다. 고등학교 때 대학 4학년 과정의 미적분 다 푼다.

어른은 왜 안되는가? 어른과 초등학생 브레인의 구조를 보면 초등학생은 텅 비었으나 어른은 많다. 어른에게 비어 있는 것은 일부이고 나머지는 다 차 있다. 직장, 사회서열, 온갖 정치뉴스로 차 있다. 어른들 중에 가장 많이 차 있는 것이 ‘통속심리학’이다. 진리깨치기, 신비체험 같은 것으로 꽉 차 있다. 노인같은 소리 하는 사람 너무 많다. 브레인공부 하는 사람들의 80%가 종교에 물든 사람들이다. 주역, 사주관상, 풍수 등으로 머리에 빈 구멍이 없다. 다 막혀 있어서 나올 수가 없다. 초등학생은 모두가 빈방이니 뭐든지 가르칠 수 있다. 여러분은 아는 게 너무 많아 가르칠 수가 없다. 사방 벽으로 막혀 있어 갈 길이 없다. 이 원리를 스스로 알아야 한다. 생각을 너무 많이 해서 공부를 할 수 없다. 물리학 강의 들으면서 철학책 가지고 와서 보는 것은 말이 안 된다. 초등학생은 모두가 ‘놀람반응’이다. 우리나라가 살려면 초등학생들에게 무조건 수학 빨리 가르쳐야 한다. 스포츠, 음악, 미술은 그렇게 하고 있는데, 왜 수학은 그렇게 하지 않는가? 페르미Enrico Fermi 1901~1954)의 고등학교 수학 선생이 반에서 3명의 똑똑한 애들을 물리학과로 보내서 세계적인 학자로 만들었다. 세계적인 학자 치고 조기교육 안 한 사람이 없다.

어른은 왜 안되는가? 딴 거로 가득 차 있고 50% 이상이 통속심리학이다. 주역, 불교. 해몽 어쩌구 할수록 멀어진다. 해도 되는데 게임, 오락으로 해야 한다. 자연과학 외에는 모두 포춘쿠키(Fortune cookie)처럼 생각하라. 그냥 재미로 해 보는 것이다. 공부 쪽은 어른이 초등학생처럼 하려면 방법은 딱 하나밖에 없다. 까무라치게 해야 한다. 입에 거품 물고 넘어져야 한다.

지난 시간 했던 “e”, 의미를 묻지 말고 이름을 박아 넣어라. 의미를 묻기 때문에 안된다. 여러분의 질병은 의미를 묻는 병이다. 전부가 동어반복이다. 의미 묻지말고 반페이지 밖에 안되는 원자폭탄 수식을 암기하라. 자연상수는 가장 아름다운 ex 하나만 가지고 가라.

“어른은 과학을 공부할 수 없다”는 원리를 깊게 생각해보라. 인문학 분야의 전문가 수준에 올라간 어른들에게 과학 가르치다가 기절할 뻔했다. 리처드 파인만(Richard Phillips Feynman 1918-1988)이 ‘거만한 바보’라고 리얼하게 표현했다. 얼마 전 유시민 작가의 <문과 남자의 과학공부> 출판 대담회를 했다. 미리 보낸 준 책을 읽어보니 느낌이 올라왔다. 후기에 “후배들에게 진정 하고싶은 이야기가 있다. 그대가 인문학을 선택했다면 꼭 나처럼 후회하지 말고 문과책과 함께 자연과학책을 같이 두시라.”고 하였다. 20대 자연과학을 만나지 못한 것이 너무 후회된다는 것이다. 진솔한 이야기가 있다. 이 책은 자연과학을 전공한 사람들이 제발 안 보았으면 좋겠다고 한다. 에러가 있을까 두렵다고 한다. 앞 부분에 이런 말이 나온다. “거만한 바보” 이야기이다. 가슴 속에 박힌 이야기이다. “거만한 바보는 없어져야 한다”. 리처드 파인먼이 인문학자, 정치학자와 토론한 느낌을 적은 것이다. 자연과학을 모르고 한 분야의 전문가가 된 사람들 이야기이다. 유시민 작가가 살아 봤더니 자기가 바보인 것을 선언한다고 하였다. 대기 중에 산소가 어떻게 생긴 지 모르고, 저 바위가 어떻게 만들어졌는지도 모르고 다른 얘기 백날 해야 뭐 할 것인가? 생명이 어떻게 진화했는지 하나도 모르는데 내가 정치인이라고 목에 힘주는 것이 무슨 의미가 있는가? 그런 차원이다. 자연과학은 해야 한다. 안 하면 바보가 된다.

#1

‘힉스메커니즘’을 이해했다고 나오면 다 거짓말이다. 누구든 폼잡을 수 없는 분야이다. 유일하게 따라가는 것은 어렵긴 해도 수식으로 하니 그렇더라는 것뿐이다. 지구상에 이해한 사람 없다고 해도 된다. 대략은 이야기할 수 있다. 정확히 이해한 사람은 없다. 모른다는 말은 여기서는 성립 안 된다. 깡그리 다 모른다. 예방주사 맞혔는데도 어렵다고 하는 바보들이 있다.

지난 3주간 강의를 했다. ‘라그랑지안’ 밖에 없다. 라그랑지안은 알고보면 너무나 간단한 이야기이다. 속어로 “낄낄빠빠”이다. “낄 때 끼고 빠질 때 빠지라”는 말이다. 라그랑지안 이해 안 해도 된다. 낄낄빠빠이다. 그러면 제대로 살아갈 수 있다. 이익되는 자리 가고 손해보는 자리 빠져주면 된다. 초등학생은 몸으로 한다. 어른은 계산해서 하니 머리가 아프다. 자연과학 대상은 자연이다. 자연이 나를 낳았다. 우리 엄마, 아버지는 사람인데, 올라가면 20억년 전에는 진핵세포였고, 40억년 전에는 원핵세포였다. 원핵세포는 그 전에 없다가 지구가 생기고 1억년 후에 생겼다. 누가 만들었나? 지구가 만든 것이 증명되었다. 물리학, 생물학 할 것 없이 우리가 얻어걸리는 것, 빼앗아 가는 것은 구걸하는 것이다. 좀 달라고 ‘앙앙’대는 것이다. 그래서 손발을 빈다. 잘 해 달라고 빈다. 누가 잘 해주는가? 자연이다. 이것을 물리 수식으로 바꾸어 놓은 것이 힉스메커니즘이다. 그러면 나는 없는가? 있다. Intra-structure, 내부에너지이다. 내게 줄 수 있는 신적인 존재가 있다면 내가 가서 달라고 해야 한다. 신은 움직이지 않는다. 내가 움직여야 한다. 내가 운동을 하니 내가 갖고있는 에너지는 운동에너지이다. 신은 그대로 있다. 위치가 안 바뀐다. 배경이다. 다른 말로 사회이고 대장이다. 대장에게 대들면 깨진다. 가장 멍청한 사람이 대장에게 대드는 것이다. 냉정하다. 이것을 제대로 알아야 제 명을 보존한다. 힘을 대장만큼 드러나지 않게 모아서 반란을 일으키기 전에는 함부로 하지 마라는 것이다. 원리가 동일하다. 내가 할 수 있는 것과 내가 할 수 없는 것을 구분하라. 내가 할 수 없는 것은 자연이고 위치에너지이다. 내 모든 에너지는 자연에서 얻어 와야 한다. 자연은 어떤 사람에게 주겠는가? 예쁜 사람에게 준다. 그것을 중국말로 “順天者”라고 한다. 순천자에게는 복을 준다. 맞는 말이다. 자연에게 대들면 안되고 ‘사바사바’해야 한다. 이 문제를 함수로 풀면 누가 가장 많이 얻어 걸리는가? 그것이 ‘최소작용의 원칙’이다. 자연에게 대드는 갈등구조를 ‘최소화’하라는 것이다. 내가 가지고 있는 운동에너지와 자연의 위치에너지와의 차이를 최소화하는 것이 당신이 사는 길이라는 것이다. 그것을 수식으로 하는 과정에서 입자화되는 것이 힉스메커니즘이다. 자연은 움직이지 않는다. 모든 것은 자연에서 가지고 온다. 그래서 자연에게 잘 보여야 한다. 그러려면 자연이 나에게 줄 때 차이가 없게 하라는 것인데, 그 차이가 진입장벽이고 그것을 δS라고 한다. 그것을 수식화한 것이다.

말로는 한 줄인데 풀어쓰면 지난 100년 동안도 다 못 풀었다. 라그랑지안은 내가 할 수 있는 것과 자연이 주는 것을 어떻게 받아 내는가로 그 함수는 ‘운동에너지-위치에너지’이다. 그것밖에 없다. 힉스입자가 어떻게 출현하는가? 라그랑지안은 정지하고 있어 방향이 없는 스칼라다. 스칼라 포텐셜이 바로 힉스입자로 바뀐다. 스칼라 포텐셜에게 입자들이 앙앙 울어 “우는 아이 떡 하나 더 주게” 하는 것이다. 힉스필드인 스칼라포텐셜이 “그만 울어라”고 떡을 떼 주는데 많이 떼 주면 무거운 입자이고 적게 떼주면 가벼운 입자이다. 말로는 그것밖에 없다. 여러분 인생의 라그랑지안, 지구의 라그랑지안, 양성자의 라그랑지안은 뭔가를 알면 다 풀어낼 수 있다. 라그랑지안 함수는 미리 찾을 수 없다. 그 위의 원리를 가지고 라그랑지안을 유도할 수 없다. 모든 입자에 대해서 라그랑지안을 경험적으로 요런 공식으로 정해 놯더니 입자를 예측하고 잘 맞더라는 경험수식들이다. 디락방정식을 풀면서 물리학자들이 감을 잡은 것이다.

8개 라그랑지안을 적어본다. 이해하는 것 아니다. 이렇게 두고 봤더니 잘 맞더라는 것이다. 물리학과 학부과정에서는 모른다. 입자물리학 석사과정에서부터 나온다. 지금부터 모두는 필드(field, 場)이다. 분위기, 냄새이다. 화장실 냄새나는 영역이 필드이다. 박자세 오면 독특한 필드가 있다. 거기에 걸 맞는 사람이 툭 튀어 오른 것이 입자이다. ‘힉스필드’가 양자화되어 입자가 된 것이 ‘힉스입자’이다.

모든 입자에는 장(Field)이 있다. 장(場)을 먼저 알아야 한다. 모든 장(field)을 표시하는 것은 문자이다.

첫 번째 Ψ로 표시하는 것을 spinor field라고 한다. spinor는 디락방정식 풀어보면 spin up, spin down과 정물질, 반물질 나오는 것이다. Ψ는 열 벡터이고 Ψbar는 행벡터가 되면서 conjugate(*) 해준 것이다. 그래서 ΨbarΨ=‘실수’가 된다. 실수화 해야 우주의 실재물체를 설명할 수 있다. spinor장의 디락입자의 라그랑지안은 L=Ψbar(iγμ∂μ-m)Ψ 가 된다.

μ는 t, x, y, z의 4차원시공이다. ∂μ는 미분이다. ΨbarΨ는 어마어마한 이야기이다. 열벡터(1×3)와 행벡터(3×1)의 곱으로 ‘실수’가 나온다. 측정할 수 있는 우리 세계이다. ΨbarγμΨ가 있으면, γμ는 시공간 4×4 매트릭스로 16개 엘리먼트가 있다. 방정식이 이 속에 16개 박혀 있는 것을 축약한 것이다. γμ는 흐름(current)이 생긴다. 전자에는 전류가, w입자는 weak current가, z입자는 중성흐름이 된다. 우리가 쓰는 전기 전류가 원자 속에 쿼크에서 흐르는 것을 추상화한 수학기호이다.

iγμ∂μ에 4차원 미분이 들어 있으니 속도(v)가 나온다. 운동에너지 1/2mv2에서 속도(v)는 미분이다. 그래서 Iγμ∂μ는 운동에너지라는 말이다. m은 질량이니 위치에너지를 말한다. 분해해보면 운동에너지와 위치에너지이다. 우주가, 지구가, 사람이, 꽃이 어떻게 작동하는가를 물리학 문제로 바뀌면 L값을 찾으면 된다. L값이 어떤 함수로 주어지면 적분을 하면 작용이 된다. 작용이 대칭의 명령을 받아 자연의 구조를 결정한다. 그래서 우리가 왜 이 모양 이 꼴이 됐는지를 설명한다. 모든 것이 딱 하나의 함수 라그랑지안이다.

두 번째는 쿼크(q)이다. 쿼크에 대한 라그랑지안은 L=qbar(iγμ∂μ-m)q 이다. 확률흐름에 관한 것이다.

세 번째는 질량이 없는 포톤(photon)필드이다. 양자화하면 Aμ로 적는다. μ는 4차원시공이다. 빛도 최소작용의 법칙을 준수한다. 따라서 빛이 어떻게 행동하는가 알고 싶으면 라그랑지안을 찾아내면 된다. 이때 라그랑지안은 L=(-1/4)FμνFμνjμAμ이다. jμ는 흐름, 전자기력에서는 전류이다. 질량 텀이 없어 포톤의 질량은 0이다.

네 번째는 질량이 있는 포톤(photon)필드는 Bμ로 적는다. L=(-1/4)BμνBμν-jμBμ+(1/2)m2BμBμ가 된다. 전부 다 텐서 로테이션이다.

다섯 번째는 Wμ장이다. L=(-1/4)WμνWμν-jμWμ+(1/2)Wμm2Wμ가 된다. 이 장이 입자화하면 W입자가 된다.

여섯 번째는 실수 ∅에 대한 라그랑지안이다. L=(1/2)∂μ∅∂μ∅-(1/2)m2∅2이다.

일곱 번째는 복소함수 ∅=(1/√2)(ξ1+iξ2)에 대한 라그랑지안이다. L=∂μ∅*∂μ∅-m2∅*∅이다. conjugate(*)는 복소수 3+4i를 3-4i로 바꾸는 것이다.

여덞번째 이중항 ∅=(1/√2)(∅1 ∅2)에 대한 라그랑지안이다. 여기서 힉스입자, w입자 질량까지 유도한다. ∅2를 ‘h+v’로 두고 푸는 것이 힉스입자이다. 이때 h는 힉스입자이고, v는 진공필드가 된다. L=(∂μ∅)†(∂μ∅)-∅†m2∅이다. 여기서는 dagger(†)를 쓴다. 행렬을 전치하고 부호를 바꾸어주라는 말이다. A=(3 4i / -7i 5)라면 A†=(3 7i / -4i 5)가 된다. 두 오파레이션이 합쳐진 것이다. 고급물리학은 행렬을 모르고는 들어갈 수 없다.

2012년 노벨상 받은 힉스메커니즘은 L=(∂μ∅)†(∂μ∅)-∅†m2∅을 푼 것이다. 왜 힉스질량이 나올 수밖에 없는가? 메커니즘을 설명하면 우리가 알고 있는 모든 시공이 진공이다. 진공의 극미구조에서는 정지해 있지 않다. ‘불확정성 원리(∆x.∆P≥ħ/2)’에 의해 진공이 요동을 쳐서 거품을 만들어낸다. 그랬을 때 진공 자체의 에너지가 246GeV로 양성자 250개 질량이다. 어마어마한 에너지이다. 우주가 잠겨있는 바탕을 ‘힉스장’이라고 한다. 힉스장이 양자요동으로 순간적으로 기포를 만든다. 그것을 “힉스장이 양자화되었다”고 하고, 양자화된 힉스장을 ‘힉스입자’라고 한다. 힉스입자의 질량은 126GeV이고 수명은 1.56×10-22sec이다. 우리가 알고 있는 양성자의 쿼크는 힉스장에서 촘촘하게 통과하면서 충돌을 하여 저항이 커진다. 이때 덩어리지는 양이 쿼크의 질량이 된다. 전자는 살짝 통과하므로 질량이 적다. 어떤 것은 힉스장과 상호작용 안 하고 그냥 지나가는데 이를 빛(포톤)이라고 한다. 포톤이 상호작용하지 않는 이유도 위 식을 통해 다 나온다. 그 원리는 깔낄빠빠에 다 있다. 입자가 지나갈 때 전자든, 쿼크든, 포톤이든, 힉스장과 상호작용하는 과정에서 질량을 얻고, 빛은 질량을 못 얻는 대신 자유로워져서 우주 끝까지 간다. 질량을 얻으면 그 대가로 갇힌다. 무거우면 무거울수록 원자핵 속의 감옥으로 들어간다. 왜 전자와 양성자 질량이 다르고, 힘이 미치는 영역이 달라졌는가의 이야기가 이 속에 다 포함되어 있다. 어떤 식으로 포함되었는지를 밝히는 것이 힉스메커니즘이다. 뭐가 되든지 대칭구조를 깨면 안 된다. 대칭구조를 깨지 않으려고 잉여 텀이 나오는 것을 서로 상쇄를 시키는데, 상쇄시킬 때 입자들이 질량을 획득하는 weak boson guage 장이 생긴다.

#2

L속의 미분이 다 걸머진다. 미분은 나의 행동의 시간적 변화율이다. 군대 가면 알아서 잘 해야 하고, 회사 가서는 눈치 보고 잘해야 하고, 그룹에서는 대장을 파악해서 알아서 하면 승진 빨리한다. 그 말은 여기 대장과 조직이 바뀌는 것이 아니고 내가 바뀌는 것이다. 나의 변화율 속에 조직의 모든 기하학적 구조를 집어넣는 것이다. 그러면 내가 알아서 행동한다. 원리적으론 간단하다. 아들은 아버지에게 잘하고, 군인은 군에서 잘하는데, 집과 군대는 다르다. 군에서 잘하려고 했던 것은 가정에선 잘못할 수 있다. 어디든 통용되는, 어디든지 잘하는 것을 만들어내는 것이다. 그렇게 하려면 군에서 거칠게 한 것을 집에 와서 하면 안되니 집에 와서는 집에서의 다정한 분위기가 군대의 거친 것을 더해서 0로 만들어 버리는 구조를 수학적으로 만들 수 있다. <놀라운 대칭성>에서는 방정식의 구조는 그대로 두고 솔루션을 여러 가지로 바꿀 수 있다고 한다. 궁극적으로 그 모든 것은 내가 바뀌어야 하므로, 나의 변화율이고, 미분이다. 변화율이 ‘나’라는 개성은 그대로 두고 다 할 수가 있다. 이것이 대칭을 유지하고 개별행동을 조정하는데, 다 미분이 걸머진다. 군대에서는 악마처럼, 집에서는 천사처럼 행동하면 정신분열 걸리고 개성이 흔들린다. 그러면 안 된다. 개성은 그대로 두고 군에서도 잘하고 집에서도 잘해야 한다. 어디든지 나의 행동의 변화율이 군에서는 용맹하고 집에서는 자상하면 된다. 그 말이 “알아서 잘한다”이다. 한자로 “共變”이라고 한다. ‘공변미분’을 구하는 것이다. 내가 바뀌는 환경에 따라 집에서, 직장에서, 군에서 그대로 따라 하는 것이다. 그러나 세 사람이 아니다. 나는 한 사람인데 세 가지 역할을 하는 것으로 나는 안 바뀌었다. 대칭을 유지한다는 것이다. 그것이 ‘대칭변환’이다. 누가 다 걸머지는가? 미분이다. 미분만 따라오면 된다. 라그랑지안에서 뒤의 항은 분위기이고, 앞에 항은 나의 변화율로 내가 어떻게 처신하느냐이다.

디락필드와 게이지장의 상호작용, 디락필드도 따라가고 게이지 필드도 따라가는 모든 변화율을 담는 미분을 D라고 한다. 공변미분이다. 화엄사상의 “隨處作主 立處皆眞”이다.

D=∂μ+(i/2)g1YBμ+(i/2)g2σi.Wμi 로 적고, 이 공식을 푸는 것이다. ∂μ는 일상 삶(4차원시공)의 미분이다. (i/2)g1YBμ는 군대 삶의 변화율이다. g1은 커플링계수이다. Bμ는 이론상 질량을 가진 포톤이다. σi는 ‘파울리 매트릭스’이다. σ와 W의 i=1,2,3의 3차원이다.

σ1=(0 1 /1 0), σ2=(0 –i / i 0), σ3=(1 0 / 0 –1)이다. 3차원에서 회전을 말하는 오퍼레이터이고. σ1=(0 1 /1 0)과 σ2=(0 –i / i 0) 가 결합해서 w+, w-입자가 나온다. σ3=(1 0 / 0 –1)와 결합하면 포톤이 된다.

D는 공변미분이다. 내가 가정이나 직장에서 바뀌어야 한다. 풀어보면,

D=∂μ+(i/2)g1YBμ+(i/2)g2(σ1.Wμ1+σ2.Wμ2+σ3.Wμ3)

=∂μ+(i/2)〔g1YBμ+(g2.Wμ3 0 / 0 -g2.Wμ3)+(i/2)g2〔(0 Wμ1 / Wμ1 0)+(0 -iWμ2 / iWμ2 0)〕

이때 g1YBμ=(g1YBμ 0 / 0 g1YBμ)의 행렬이므로, 더해주면

(g1YBμ 0 / 0 g1YBμ)+(g2.Wμ3 0 / 0 –g2.Wμ3)=(g1YBμ+g2.Wμ3 0 / 0 g1YBμ–g2.Wμ3)가 된다. 이것을 풀어서 외인버그가 노벨상 받았다.

1970년대에 힉스메커니즘이 학계에 알려지기 시작했는데, 그 이름을 붙인 것이 이휘소 (Benjamin Whisoh Lee, 1935~1977) 박사이다. 힉스(Peter Ware Higgs, 1929~ )가 1964년에 논문을 썼다. 당시 논문을 쓴 팀이 3명이다. 3가지 방법이 다 동일한 방법이다. 소장학자들이 “이렇게 하면 될 거라”는 간단한 논문인데 아무에게도 주목을 안 받았다. 1972년 로체스터 대학에서 미국입자물리학자들의 대회 마지막 날에 전체를 종합하면서 이번 학회의 핵심에 대한 대가급의 마무리 멘트를 당시 페르미연구소 이론물리학부장인 이휘소 박사가 하게 되었다. 그 전날 만찬에서 힉스가 서성대다가 이휘소 박사와 부딪혔다. 소장학자 힉스가 대가를 만나 자신의 이론을 어필했다. 이휘소 박사의 마무리 멘트에서 힉스메커니즘을 처음으로 언급하면서 “입자물리학의 희망을 줄 수 있겠다”고 하였다. 2013년 노벨상 받은 힉스가 2010년에 쓴 자서전에 이 이야기가 나온다. 인류역사상 처음으로 힉스메커니즘이 공식화되었다. 그래서 이후 힉스메커니즘의 레퍼런스가 급증하게 된다. 이휘소 박사의 영향이다. 자랑할 만 하다.

“내가 먼저 힉스메커니즘 언급했다”고 하는 사람이 또 있는데 와인버그(Steven Weinberg, 1933~2021)이다. 이휘소 박사와 와인버그는 동급이다. 지금하는 이론 전개는 와인버그 전개이다.

#3

더 풀어가기 전에 사전지식이 풀요하다. g1과 g2는 SUC(3)×SUL(2)×UY(1)에서 Y는 UY(1)에서 나온다. U(1)은 포톤필드로 Aμ, Bμ 2개를 쓴다. SU(2)는 W+, W-, Z0를 쓴다. SU(2)×U(1) 해서 나오는 것이 W+, W-, Z0와 γ(광자)가 나온다. 그래서 이 넷은 한 형제이다. 이 과정을 스탠다드 모델이라고 한다. 지금 전개가 그 핵심이다. SUL(2)에서 2는 2×2 σ 매트릭스를 말한다.

다음 주와 그 다음 주 강의까지 하면 왜 이휘소 박사를 노벨상급으로 인정하는지를 이해한다. 하나의 학자 차원이 아니다. 노벨상 5개는 받을 역량이다. 그 정도로 인류에 획기적인 역할을 한 사람이다. 그렇게 했을 때 갈루아 이야기가 와 닿는다. 갈루아, 조르당, 리로 가면서 인류가 모든 것을 설명할 수 있게 되었는데 대칭이다. 어마어마한 이야기이다.

어떻게 커플링 되는가를 본다. g1Bμ 에서 Bμ은 상태함수, g1은 커플링 계수이다. 전자공학에서 e=gsinΘw이다. e=1.6×10-19 이라는 전하량이 커플링 계수이다. 놀랍다. e는 옛날에 측정해서 뚝 떨어지는 수이다. 그런데 그게 뭔지 전자공학 박사도 모른다. 그냥 쓸 뿐이다. 어디서 왔는지 상상을 못한다. 그런데 g와 와인버그 각이라는 Θw의 커플링 계수이다. 진공의 힉스장과 전자의 커플링을 얼마나 잘하는지를 나타내는 계수이다. 잘한다는 것을 수량화할 수 있다. 그것이 전하값이다.

필드와 g1 및 g2가 커플링되서 나오는

g1Bμ=-g1ZμsinΘw + eAμ

g2Wμ3=g2ZμcosΘw + eAμ

따라서

(g1YBμ+g2.Wμ3)=(-g1ZμsinΘw + eYAμ + g2ZμcosΘw + eAμ)가 된다.

g1=√(g12+g22) sinΘw, g2=√(g12+g22) cosΘw 이므로, 집어 넣으면

Dμ=∂μ+(i/2)e(Y+1 0 / 0 Y-1)Aμ - (i/2)(-√(g12+g22)cos2Θ 0 / 0 √(g12+g22))Zμ 이 된다.

Dμ∅는 ∅라는 함수를 공변미분하는 것이고,

∅=(1/√2)(0 h+v)로 주어지므로,

Dμ∅=(1/√2)(0 ∂μh)+(i/2)e(Y+1 0 / 0 Y-1)Aμ(0 h+v) + (i/2)(-√(g12+g22)cos2Θ 0 / 0 √(g12+g22)(0 h+v)(1/√2)Zμ이 된다.

이때 Y=1로 주어지면 photon field인 전자기장 Aμ와 힉스장 v가 곱해서 0가 되므로, “빛은 진공과 interaction하지 않는다”가 된다. 그래서 빛의 질량이 0이다. 왜 빛이 우주끝까지 가는가? 방해를 안 받으니 무한대까지 간다.

#4

중간말뚝으로 간다. 최종으로 구하고 싶은 것은 스칼라 이중항에서 라그랑지안이 어떤 수식으로 표현되는가이다.

L=(Dμ∅)†(Dμ∅) - V(∅†∅)이다.

D는 앞에서 풀었다. Vaccum field ∅=(1/√2)(0 h+v)로 주어진다.

따라서 ∅†∅=(1/2)(0 h+v)(0 / h+v) = (1/2)(h+v)2 이 되고,

Dμ∅=(1/√2)((i/√2)g2Wμ+(h+v) / ∂μh-(i/2)√(g12+g22)Zμ(h+v))가 되고,

(Dμ∅)†=(1/√2)((-i/√2)g2W-μ(h+v) ∂μh+(i/2)√(g12+g22)Zμ(h+v))가 된다.

따라서

(Dμ∅)†(Dμ∅)=(1/2)∂μh∂μh+(1/8)〔2g22W-μWμ++(g12+g22)ZμZμ〕(h+v)2 가 된다.

h는 higgs field이고, v는 vaccum energy이다.

여기까지는 운동에너지 안의 공변미분을 계산한 것이다. 공변미분 속에는 photon field와 Weak force 장의 interaction이 다 들어있다.

다음 V(∅†∅)은 포텐셜 에너지가 입자를 만들어낸다. 이 에너지가 힉스에너지다. 힉스에너지가 질량을 준다.

V(∅†∅)=λ/(∅†∅-(1/2)v2)2 으로 설정하는 과정이 길다. 힉스장의 스칼라포텐셜을 여러 시도를 했는데, 이렇게 전개하니 가장 효율이 있었다.

∅=(1/√2)(0 h+v)이므로,

∅†∅=(1/√2)(0 h+v)(1/√2)(0 / h+v)=(1/2)(h+v)2 이 된다.

V(∅†∅)=λ〔(1/2)(h+v)2 - (1/2)v2〕2

= (λ/4)〔(h+v)2 - v2〕2

= (λ/4)(h2+2hv)2

= (λ/4)(h4+4h3v+4h2v2) 이 된다.

이때, 4h2v2 텀이 질량과 연결되어 있다.

L=(Dμ∅)†(Dμ∅) - V(∅†∅) 으로 주어지고,

여기서, (Dμ∅)†(Dμ∅)을 계산해서 나온 질량이 mw± = (1/2)g2 v 가, mZ = (1/2)√(g12+g22) v 가 되었고, V(∅†∅)을 계산해서 나온 질량이 mh = √(2λv2) 가 되었다.

#5

이 과정을 계산하면.

L=(1/2)∂μh∂μh+(1/8)〔2g22W-μWμ++(g12+g22)ZμZμ〕(h+v)2 - (λ/4)(h4+4h3v+4h2v2) 가 된다.

이것은 전자기상호작용과 약한상호작용이 다 포함된 라그랑지안이다. 어마어마하다. 이것으로 어떻게 입자 질량을 뽑아내는가?

w±입자는 (1/2)mw2〔(w-μ)*(w-μ)+(wμ+)(wμ-)*〕=(1/8)g22〔(w-μ)*(w-μ)+(wμ+)(wμ-)*〕에서,

(1/2)mw2 = (1/8)g22 가 되는데, 여기에 (h+v)2을 전개한 v2이 붙어서

(1/2)mw2 = (1/8)g22 v2 이 된다.

따라서 mw± = (1/2)g2 v 가 된다.

Z0입자는 (1/8)(g12+g22)ZμZμ v2 = (1/2)mz2ZμZμ 에서 질량을 뽑는다.

(1/2)mz2 = (1/8)(g12+g22)v2

따라서 mZ = (1/2)√(g12+g22) v 가 된다.

다음 힉스입자는 스칼라 입자 ∅에 대한 라그랑지안 공식인

L=(1/2)∂μ∅∂μ∅-(1/2)m2∅2과

L=(1/2)∂μh∂μh+(1/8)〔2g22W-μWμ++(g12+g22)ZμZμ〕(h+v)2 - (λ/4)(h4+4h3v+4h2v2) 을 비교한다.

∅는 h와 연결되고, (1/2)m2∅2은 (λ/4)(4h2v2)가 연결된다.

따라서 L=(1/2)∂μh∂μh-(λ/4)(4h2v2)이 된다.

그러면, (1/2)m2h2 = λh2v2 이 되므로,

mh = √(2λv2) 이 되어, 힉스입자의 질량이 된다.

우주에 가득한 빛과 원자 속의 베타붕괴로 나오는 전자기상호작용과 약한상호작용을 다 담는 라그랑지안이고 모든 변화율은 공변미분이 짊어지고 간다. 공변미분을 끝까지 추적해보면 궁극적으로 우주의 모든 입자들이 질량을 어떻게 얻어냈는가가 마지막 과정에 나온 것이다.