수업후기
#0
지난 시간 수식이 피부에 와 닿는 사람 있는가? 만일 피부에 와 닿는다면 대단하다. 물리학 교수 빼놓고는 드물 것이다. 물리학을 해 봤을 때 ‘일반상대성 이론’으로 들어가면 피부에 와 닿는데 지난 시간 수식이 피부에 와 닿지 않는다. 라그랑지안 시스템, 헤밀토니안으로 넘어가는 출발점이다. 요 시스템 그대로 힉스입자 구할 때도 나온다. 다른 것이 없다. 이것이 피부에 와 닿으면 물리학 공부 50%는 끝난 것이다. 10년 동안 3-4번 강의했는데도 매끌하다. 유도하는 과정에 오일러가 만든 변분법이 전체 내용이다. 100년의 수학사가 이 속에 들어있다.
잡다한 책 보지 마라. 훈련센터이다. 군에서 유격훈련 받는 곳이다. 이 안에서는 다른 방법 쓰면 안 된다. 그것이 훈련이다. 박자세 와서는 이 방식 그대로 해야 한다. 박자세 훈련의 핵심이다. 내가 30년간 헷갈려 봤는데 여러분이 또 헷갈리는 길로 들어가는 것을 보면 느낌이 생긴다. 자전거 배우는 것과 똑같다. 탈 수 있느냐 못 타느냐로 갈라진다. 이것은 앞으로 여러분이 넘어야 하는 산맥이다. 한 페이지 밖에 안되는 이것을 누군가 정면승부해서 초등학생에게도 설명할 수 있다면 물리학자라 부를 수 있다.
이 과정이 100년 걸렸다. 수학사를 해 보면 이 수식이 유도되는 과정의 로테이션이 전문학자 간에도 설왕설래하며 다듬어진 것이다. 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716)가 기호를 200개 이상 만들었다. 미분을 d라고 쓰는 것은 뉴턴이 만들었고, 분수형태로 쓰는 것은 라이프니츠가 만들었다. 300년 지난 지금도 2개를 그대로 쓴다. 다음에 ‘기호의 역사’ 강의를 해 보고 싶다. 분해해보면 기호가 20-30개 들어있다. 20-30개 하나하나에 대해 엄청난 설명을 할 수 있어야 아는 것이다. 그래서 가장 매끄럽다. 일반상대성 이론은 기계적으로 훈련만 하면 넘어가는데 이것은 안 그렇다. 비교하자면 빙벽등반과 같다. 유일하게 세계적인 석학인 서스킨드(Leonard Susskind, 1940년 ~)의 번역된 책 3권 중 한 권이 이 수식을 200페이지 걸쳐서 설명하고 있다. 지금 여러분이 이해한다는 것은 무리이다. 이 수식이 몸에 붙으면 입자물리학 전문가가 하는 레벨로 올라간다. 큰 산맥이다. 앞으로 5년 후에 도전해 보라. 하나하나 분해해 봐야 한다. 미끄러운 암벽을 다 올라가면 신세계를 만난다.
라그랑지안 수식은 올라가기 어렵다. 의미를 묻지말고 훈련해보라. 첫 번째 위대한 것은 뉴턴역학이 그대로 들어가 있다. 위대한 뉴턴세계를 다 포함하고 있는 것이다. ‘오일러-라그랑지안 공식’으로 F=ma가 간단히 유도되어 나온다. 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange, 1736-1813)가 16살에 수학과 교수가 되었다. 세계적 대가 오일러(Leonhard Paul Euler, 1707-1783)가 추천서를 써 주었다. 변분법 과정에서 고등학생 쯤 되는 라그랑주가 오일러에게 편지를 보내서 선생님 이론을 따라가니 요 대목은 내가 요렇게 했다고 하니, 오일러가 대단하다고 하며 공식이 만들어졌다. 오일러라는 세계적 대가가 고등학생쯤 되는 라그랑주의 연구결과를 인정해서 곧장 수학과 교수가 되게 한다.
뉴턴역학이 라그랑지안 역학의 부분집합으로 들어와 있다. 더 중요한 것은 뉴턴역학은 힘을 다루기에 벡터이다. 그래서 물리량과 방향 2가지를 다 계산해준다. 공대생 돼서 전자기학 해 보면 계산이 굉장히 번거롭다. 여기에 진이 다 빠진다. 그런데 라그랑지안 역학의 근본적 장점이 있다. 무지하게 편하고 범용성이다. 스칼라이기 때문이다. 이 칠판에서 스칼라 세계를 보여준 도표가 있다. 수 체계이다. 수가 스칼라이다. 수는 양이다. 숫자에 방향이 없다. 왜 라그랑지안 시스템이 범용성을 가졌는가? 범용성은 모든 데 적용될 수 있다. 그래서 입자물리학, 상대성 이론까지 밀어붙인다. 스칼라량을 다루므로 계산이 무지하게 편하다. 뉴턴은 절대시간, 절대공간이다. 그런데 이 시스템은 범용성으로 에너지의 정의가 나온다. 물리학에서는 운동량과 에너지가 가장 중요하다. 에너지 보존의 법칙, 운동량 보존의 법칙을 연구하는 것이 물리학이다. 물리학에서 운동량을 처음으로 정의 내린 것이 “∂L/∂q’ ≡ P”이다. 액자로 만들어 붙여 놔야 한다. 운동량이 우주에 출현했다. 물리학에서 상수라고 한 것은 보존, 대칭, 불변량이다. 운동량 상수가 ‘운동량 보존의 법칙’이다. 보존이 되려면 공간대칭이 나와야 한다. 숫자, 상수는 그냥 쓰면 안 된다. 두 번째 상수는 에너지 상수이다. 에너지가 상수라는 것이 중요하다. 에너지가 불변이고 보존되고 ‘에너지 보존의 법칙’이다. 보존이라 적고 대칭이라고 읽는다. 뭐에 대한 대칭인가? 시간에 대한 대칭이다. 대칭은 복수이다. 하나의 대상에 대해서 대칭이 있다.
조금만 공부해보면 헷갈릴 수 없다. 틀릴 수가 없다. 집합론적 사고에서 내가 강조한 부분은 내가 속해 있는 집합을 깨닫는 것이다. 내 바깥에 집합이 있을 수 있다는 것이다. 나는 이 세계에 산다는 것을 확신하게 되면 바깥 세계도 인정하게 된다는 것이다. 같다는 얘기가 아니다. 집합론이 무섭다. “미역이 식물인가?” 물으면 집합론적 사고는 그런가 아닌가를 분명히 해준다. 같다는 이야기가 아니다. 비슷한 의미가 아니고 오히려 그것을 깨부순다. 집합론 사고가 왜 위대한가? 내가 갇혀 있다는 것을 알게 된다. 깨달았다는 것이 아니다. 첫 출발은 거기서 시작된다. 마지막까지도 이것밖에 없다. 갇혀 있다는 것을 알지 못하기에 끊임없이 갈등이 일어난다. 갇혀 있는 것을 알면 다른 존재를 인정한다. 내가 갇혀 있다는 것을 알면 남을 원망하지 않는다. 이것이 자유이다. 왜 갈등이 생기는가? 타인을 인정하지 않는 것이 다 같다고 생각하고 해석해서이다. 내가 갇혀 있기에 다른 그룹이 있다는 것이다. 어마어마한 실용성이 있다. “곤충이 동물인가?” 갑자기 물으면 툭 안 나온다. “박테리아는 미토콘드리아가 있는가?” 물으면 헷갈린다. 강의를 무수하게 했는데, 집합론적 사고를 못하기 때문이다. 집합론적 사고를 하면 탑-다운 식으로 보기에 위에 있는 것이 뭔가를 금방 찾아낸다. 위에 있는 것은 하나 밖에 없고 틀리지 않는다. 하나에서 다 생겼다. 이것이 집합론적 사고이다. 끝을 생각하기에 헷갈린다. 집합론적 사고는 위로 올라가야 한다. 대칭의 명령에 의해 작용이 우주의 구조를 결정하여 에너지를 정의하고, 에너지에서 힘이 나온다. 이것이 집합론적 사고이다. 이 하이라키를 갖고 있으면 어느 다리 긁는지 금방 안다. 현대과학은 집합론적 사고로 되어 있다.
우주에는 동일한 순간은 없다. 모두 각자의 순간밖에 없다. 특수상대성 이론의 위대한 결론이 우주에는 각자의 시계밖에 없다. 우주에는 공통의 시간이 없고 각자의 시간만 있다. 그것을 ‘집합론’이라고 한다. 동양사상은 두리뭉실한 최고의 사고로 뭐든지 같다고 한다. 그쪽으로 가면 안된다. 나중에 만나더라도 다르다는 것을 정확히 알아야 한다. 동양은 기본이 통합이다. 항상 덩어리진 것만 보아왔기에 분해를 못한다. 서양은 분해해서 모았기에 다시 분해할 수 있다. 동양사상 하는 사람들은 물었다 하면 다 같다고 한다. 같은 것 하나도 없다. 조장희 박사님은 과학은 ‘분과학문’이라고 하였다. 과학은 개별적으로 나누어서 ‘각개약진’하였기에 인류가 이 만큼 온 것이다. 섞이면 안된다.
하이라이트는 빨간색으로 쓴다. ‘교환자(Commutator)’, ‘고전물리의 완성’이다. 〔H, q〕=q’이 나온다. 〔H, p〕=p’ 이 나온다. 이것이 결정판이다. 아름다운 세계이다. q’은 속도로 변화량이다. 패턴은 함수값이 아니고 미분값인 도함수이다. 눈에 보이는 것이 세계가 아니다. 눈에 보이는 것은 결과인데, 무수한 변화의 결과이고, 한순간을 본 것이다. 그래서 한순간의 모음이 도함수이다. 순간의 변화율을 알면 세계를 안다. 물리변수의 속도는 순간 바뀌는 변화율인데 어떻게 아는가? 알 수가 있다. 헤밀토니안(H)에 위치(q)를 교환자〔 〕로 하면, Hq-qH 가 되고, 바로 위치의 변화량(q’)이 나온다. 속도(q’)는 계산이 어렵지만, H, q는 계산이 된다. 〔 〕=0이면 고전물리학이고 값을 가지면 양자역학이 된다. 불확정성 원리는 교환자에 Iħ가 붙는 것이다. 운동량 변화도 알 수 있다. 운동량 변화를 아는 것은 우주를 반 이상 아는 것이다. 〔H, p〕를 쓰면 된다. 이것 하나로 물리학이 정복되었다. 어디서 나왔는가? 앞의 빙판에서 나왔다. 빙판만 올라가면 물리학이 끝난다.
〔H, q〕=Hq-qH≠0 인 것은 행렬로 표시가 되기 때문이다. 행렬은 교환이 안된다. 행렬이 정면에 들어선다. 하이젠베르크는 행렬역학이다. 고급이론에서는 행렬 쪽으로 간다. 시간 없으니 딴 것 하지 마라. 이 강의가 끝날 때까지는 그대로 따라온다. 내가 강의 한 것을 그대로 프린트해서 보아야 한다.
SU(3)가 입자물리학의 마지막이다. 쿼크변환이다. 주기율표가 들어있다. SU는 special unitary이다. Unitary는 Unit에서 왔고, ‘1’이라는 말이다. ‘1’은 cos2Θ+sin2Θ=1의 ‘1’에서 왔다. 행렬값이다. 무조건 암기해야 한다. 서울에서 부산 가는 톨게이트이다.
L은 각운동량(angular momentum)이다. 여기에 교환자가 나온다. 모두가 회전을 다룬다. 여기서 l이 나온다. 주기율표 블록만 이해하면 된다. s, p, d라는 이름은 l=0, 1, 2에서 나왔다. l은 도대체 뭔가? 양자역학 배울 때 l을 가장 알고 싶었다. l 비밀이 여기서 밝혀진다. l값을 알려면 교환자를 알아야 하고, 교환자를 알려면 헤밀토니안을 알아야 하고, 헤밀토니안을 알려면 라그랑지안까지 가야 한다. 여기서부터 길은 어느 코스에도 토막이 안 나 있는 하나이다. 여기서부터 시작하여 주기율표가 나오고 여러분이 왜 존재하는지가 나온다.
초기에 1800년대 후반부터 분광학자들이 가스를 분석하는 과정에서 스펙트럼 선의 모양에 이름 붙인 것이 diffuse(d), Sharp(S), principle(p)이다. 이후 양자역학이 출현하면서 블록에 I값을 붙였다. s, p, d, f보다 l = 0, 1, 2, 3이 중요하다. 그때 l값에 꽂혔다면 밀어붙여서 끝까지 다 갔을 것이다. 그 힘을 집합론적 사고라고 한다. 이제 주기율표를 알게 된 것이다.
주기율표에 원자가 있다면 전자가 돌다가 왜 도망 안가는가? 전자는 에너지를 갖는데, 에너지에 상수가 붙으므로 에너지가 안정적이다. 존재가 존재하는 것은 에너지 상수의 ‘상수’ 속에 들어있다. 주기율표가 라그랑지안 시스템에서 완벽히 해독이 된다.
앞으로는 주기율표가 뭐냐고 물으면 “l값이다”라고 하면 된다. 집합론적 사고이다. 라그랑지안이 왜 대단하냐고 물으면 “스칼라방정식“이라고 하면 되고, 또 물으면, ”최초로 에너지 상수와 운동량 상수가 나왔다“고 하면 되고, 상수가 왜 중요하냐고 물으면 ”그것이 보존법칙을 말한다“고 하면 되고, 보존이 뭐냐고 하면 ”대칭의 다른 이름“이라고 하면 된다. 그러나 대부분 엉뚱한 소리한다. 집합론을 몰라서이다.
#1
모든 자연과학은 딱 하나로 끝난다. 그것을 오늘 증명한다. 세부에 신경 쓰지 마라. 오늘 하는 것은 여기에 말뚝 박는다. 중간과정 몰라도 상관없다. 결과만 알면 된다. 함부로 가르쳐 주면 안된다. 딱 하나이다. 적어도 40년 공부한 사람이 하는 이야기이다.
딱 하나는 바로 eix 이다.
자연과학의 끝이 있다는 것을 알게 된다. 요거 하나만 알면된다. 자매품이 i넣고 떼 내는 것이다. 지난 시간 ii가 어떤 실수를 갖는다는 것에 섬찟해야 한다. 어떻게 계산하지? ii승을 계속 반복하면, 복소평면에 패턴을 갖는다. 갤럭시 나선팔이 된다. 무한히 i의 무한승까지 가면 팔이 3개 나오는 나선이 되는데, 우주에서 가장 흔한 갤럭시 패턴이다. 수학적 장난이 아니다. ei승으로 가는 것은 우주 전체를 포착한다. 궁극적으로 이것밖에 없다. 결과물 3개만 나열한다. 거대한 학문분야의 최종결론이다. 모두 이것으로 되어 있다.
eix=cosx+isinx 이다. 이 말은 어떤 함수도 sin, cos으로 표현할 수 있다는 것이 ‘푸리에 정리’이다. 그러면 우주에 모든 미분가능한 함수는 eix로 다 표현이 된다. 구체적으로 전자기학이나 양자역학에서 어떻게 작동하는가를 보여준다. 먼저 알고 싶은 것이 양자역학의 슈뢰딩거 방정식이다. 10분 만에 만들어낼 수 있다. eix 가 물리량과 어떻게 링크되는가를 보여준다.
Ψ는 범용으로 파동을 다루는 것이다.
Ψ=ei(kx-ωt)
요거 하나로 고전적 파동은 다 설명이 된다.
두 번째 양자역학으로 들어오면 플랑크 상수가 붙어서
Ψ=ei/ħ(px-Et)
물리학의 모든 문제의 출발 함수는 이 두 가지밖에 없다. 끝이다. 이 두 함수를 묻지말고 100번 써보라. 알아야 할 것은 파라미터인 k, ω, P, E가 뭔지만 알면 된다. P와 E는 운동량 상수, 에너지 상수에서 나왔다. 모든 물리현상은 P, E에 알알이 박혀있다.
#2
먼저 빛의 본성을 밝혀보다.
빛은 구리선에 전류 i를 흘렸을 때 앙페르 법칙에 따라 감는 형태로 자기장이 생긴다. 자기장의 회전(▽×H) 은 전류밀도(J)와 교류의 전장(E, Electric field)의 시간적 변화율(∂E/∂t)과 링크가 된다. ε0는 진공의 유전상수이다.
따라서 ▽×H=J+ε0(∂E/∂t) 가 된다.
맥스웰방정식 4가지 수식 중 중요한 수식이다. 발전기 수식이다.
전기장의 회전(▽×E) 은 자속밀도(B)의 시간적 변화율(-∂B/∂t)애 비례한다.
따라서 ▽×E=-∂B/∂t, B=μ0H 이다.
위 수식을 한번 더 회전 시키면
▽×(▽×E)=-∂(▽×B)/∂t 이다.
계산은 복잡하나 결과는 벡터로 나오는데,
B=μ0H, H=B/μ0를 ▽×H=J+ε0(∂E/∂t)에 넣으면
▽×B/μ0=J+ε0(∂E/∂t)
▽×B=μ0J+μ0ε0(∂E/∂t), 이때 진공에서는 전류가 없으므로 μ0J=0이다.
따라서 ▽×B=μ0ε0(∂E/∂t)를 ▽×(▽×E)=-∂(▽×B)/∂t 에 집어 넣으면,
▽(▽.E)-▽2E=-(∂/∂t)(μ0ε0(∂E/∂t))=-μ0ε0(∂2E/∂t2)가 된다.
공간에 대해서 ▽.E=0이므로,
▽2E - μ0ε0(∂2E/∂t2)=0 가 된다. 이것이 유명한 파동방정식이다.
이 방정식 풀면 빛의 비밀, 전자기파가 뭔지 알게 된다.
▽=∂i/∂x+∂j/∂y+∂k/∂z이다. 직각좌표계에 미분이다.
파동방정식을 풀어 유명한 사람이 맥스웰이다. 세상 모든 것을 만든 사나이이다. 이것을 푼 사람만이 빛이 뭔지 보여 줄 수 있다. 이때는 양자역학이 안 나왔다. 그래서 1900년 이전에는 이 고전 파동방정식을 쓴다. 이 속에 우주가 다 있다.
어떻게 푸는가? 우리는 답을 이미 알고 있다. 풀 필요 없다. 어떤 다른 파동방정식이 있다고 해도 고전 파동방정식의 답은 파동함수 Ψ=ei(kx-ωt) 이다. 양자역학 파동방정식의 답은 Ψ=ei/ħ(px-Et)이다. 물리학 끝이다. 모든 자연과학의 답은 이 두 개로 끝난다. 양자역학은 이 두 개의 파동함수의 관계를 밝히는 것이다. 답을 공식에 집어넣으면 원하는 결과가 나온다.
답을 알고 있으니 답을 집어넣는다. E=Ψ를 넣는다. Ψ=ei(kx-ωt)에서 x는 공간, t는 시간이다. 왜 모든 비밀을 밝힐 수 있는가? 비밀은 패턴을 읽어내는 것이다. 패턴은 미분에서 나온다. 미분해도 같은 값이다. 혼자 홀딱 벗고 있다. 그래서 자기 패턴을 그대로 보여준다. 상수만 앞으로 나오면 된다. 두 번 미분하면 상수만 다 토해내면 된다.
▽2E에서 공간에 대해 토해내면 ik가 나오고, 두 번 토해내니 (ik)2이 나온다. 다음은 시간에 대해 두 번 토해내면 (-iω)2이 나오고, 나머지 함수는 그대로 있다.
따라서 파동방정식 ▽2E - μ0ε0(∂2E/∂t2)=0에서
(ik)2e“ - μ0ε0(-iω)2e“ = 0 가 된다.
이런 함수가 아니면 못 푼다. 홀딱 벗은 임금이기 때문에 풀 수 있다. 임금님이 진짜이다. 여러분 본심은 옷을 홀딱 벗겨봐야 안다. 옷을 벗기는 과정이 미분인데, 원래 홀딱 벗었기에 젖은 강물은 더 이상 젖지 않는다. 그것이 자연이다. 홀딱 벗은 우주 자체가 되므로 진품이다. 진품이 패턴이다. 우리가 왜 세상을 이해 못 하느냐? 다 옷을 입고 있어서이다. 옷을 벗기는 과정이 미분이다. 변화율이다.
e“를 나누어서 없애면
(ik)2 - μ0ε0(-iω)2 = 0 이 되고, i2=-1이므로
-k2 + μ0ε0ω2 = 0 이다.
따라서 k=√(μ0ε0) ω 이다,
k는 원의 둘레 2π를 파장λ로 나눈 값 2π/λ 이다. ω=2πν이다.
따라서 2π/λ = √(μ0ε0) 2πν 이다.
λν=1/√(μ0ε0) 이다.
λν에서 파장λ 단위는 Cm, 주파수 ν의 Hz단위는 1/sec이다. 곱해주면 Cm/sec는 속도(v)차원이다. μ0ε0는 진공의 상수이므로 값 3×108 m/s가 나온다. 빛의 속도이다. 파동방정식 까지의 과정은 몰라도 된다. 공학자들이 하는 것이다. 파동방정식에 답을 알고 있어 넣으니 빛이 나왔다. 이래서 무전, 방송국, 인터넷 만들어진 것이 다 Ψ=ei(kx-ωt) 때문이다. 맥스웰방정식 다 푼 것이다. 파동방정식에 알고 있는 답만 집어넣으면 빛이 나온다.
#3
두 번째는 양자역학의 ‘슈뢰딩거 방정식’을 만들어 보인다. Ψ=ei/ħ(px-Et) 을 답으로 주는 방정식이 슈뢰딩거방정식이다. 양자역학 공부할 필요 없다. 전자기학도 공부할 필요 없다. 다 알았다. 공간과 시간에서 미분하면 본질이 나타난다. 우주의 모든 현상은 공간 속의 시간적 변화밖에 없다. 만났다 헤어지고 나이들면 사라질 뿐이다.
Ψ=ei/ħ(px-Et)를 미분하면, 원래 홀딱 벗었으니 목걸이만 토해내면 된다.
시간에 대해서 미분하면, ∂Ψ/∂t = -iE/ħ Ψ가 된다.
공간에 대해서 미분하면, ∂Ψ/∂x = iP/ħ Ψ가 된다.
수학은 논리적 동어반복이고, 필연성에 도달하므로 틀릴 수가 없다. 공부하는 것이 아니고 같은 말 되풀이 하는 것이다.
공간에 대해서 한번 더 미분하면, ∂2Ψ/∂x2 = (iP/ħ)2 Ψ가 된다.
다음은 공간을 시간과 비교하는 논리적 동어반복을 한다.
∂Ψ/∂t = -iE/ħ Ψ에서 Ψ=(ħ/-iE)(∂Ψ/∂t)가 되고,
∂2Ψ/∂x2 = (iP/ħ)2 Ψ에서 Ψ=(ħ/iP)2(∂2Ψ/∂x2)
따라서 시간에 대한 1차미분과 공간에 대한 2차 미분이 동어이므로,
(ħ/iP)2(∂2Ψ/∂x2) = (ħ/-iE)(∂Ψ/∂t) 가 된다.
동어반복이 몇 단계 지나가면 복합적으로 된다.
(-ħ2E/P2)(∂2Ψ/∂x2) = iiħ/i(∂Ψ/∂t)
E = T + V = (1/2)mv2 + V = (mv)2/2m + V = P2/2m + V 이므로,.
E = P2/2m + V 를 넣으면,
(-ħ2/P2)(P2/2m + V)(∂2Ψ/∂x2) = iħ(∂Ψ/∂t)
∂Ψ/∂t = -iE/ħ Ψ 이므로,
(-ħ2/P2)(P2/2m + V)(∂2Ψ/∂x2) = iħ(-iE/ħ Ψ) = EΨ 가 된다.
동어반복 외에 다른 기법이 없다. 정리하면,
(-ħ2/2m)(∂2Ψ/∂x2)-(ħ2/P2)V(∂2Ψ/∂x2) = EΨ
∂2Ψ/∂x2 = (iP/ħ)2 Ψ = -P2/ħ2 Ψ 이므로,
(-ħ2/2m)(∂2Ψ/∂x2)-(ħ2/P2)V(-P2/ħ2 Ψ) = EΨ
(-ħ2/2m)(∂2Ψ/∂x2)+VΨ = EΨ 가 된다.
정리하면,
(ħ2/2m)(∂2Ψ/∂x2) + (E-V)Ψ = 0
이 방정식이 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)이다.
여러분들을 공포스럽게 만든 방정식이 반 페이지면 끝난다. 어디서 나왔는가? Ψ=ei/ħ(px-Et)밖에 없다. 자유로워졌는가? 나는 슈뢰딩거방정식을 만들 수 있고, 답에서 만들었으니 답도 알고 있다. 물리학은 두 식밖에 없다. 하나는 전자기학, 하나는 양자역학이다. 두 개의 학문이 끝난다. 다 어디서 왔는가? eix에서 왔다. 왜 eix가 그렇게 파워풀한가의 구조를 뒤에 설명할 것이다. 그러면 자연과학이 끝날 수 있다. 물리학 박사를 해도 이런 방정식 기껏 5개밖에 안 푼다.
#4
오늘 뭘 했는가? 첫 번째, ‘전자기학’, 전파가 뭔지, 빛이 뭔지 난 알았다. 두 번째 ‘양자역학’, 나는 슈뢰딩거방정식을 답을 알아서 만들었다. 왜 그럴 수밖에 없는가? P 운동량 상수, E 에너지 상수이다. 상수는 보존이다. 보존이니 영원히 있다. 그래서 원자가 된다. 운동량 상수, 에너지 상수가 박혀있기에 기적같은 일이 벌어진다. ‘보존=대칭’이다. 다 만났다. 이것이 집합론적 사고이다.
세 번째는 우주론도 이것으로 끝난다. 우주론 방정식은 무엇인가? ‘플랑크 곡선’이다. 플랑크 곡선도 eix로 끝난다. 우주론을 연구하는 것은 플랑크 곡선을 연구하는 것이다. 곡선이니 파동이고 빛이다. 플랑크 시절은 양자역학 있었나 없었나? 그때는 양자역학이 갓 들어왔다. 그래서 Ψ=ei/ħ(px-Et)을 써야 하는데, 방금 문을 열었기에, Ψ=ei(kx-ωt)에서 넘어가는 과정을 넣고 Ψ=ei/ħ(px-Et)을 풀면, 노벨상 두 번 나온 곡선을 30분 내로 유도한다.
플랑크 곡선을 풀면 어마어마한 것이 나온다. 그 아들 중 하나가 반도체 공학이다. 플랑크 곡선은 덩어리가 어마어마하게 크다. 세 덩어리가 들어있다. 첫 번째는 볼츠만을 불러와야 한다. 볼츠만 상태수가 확률로 연결되기까지 한 덩어리, 그것으로 에너지 준위의 평균값 구하는 한 덩어리, 다 실패했는데 볼츠만이 성공을 하게 된 ∫이 아니라, ∑을 하게 된 과정, 그래서 보존과 페르미온 입자가 갈라지는, 통계가 다른 ‘보존 통계’와 ‘페르미온 통계’, 입자물리학의 최고정수이다. 이것을 안보고 유도하기는 드물다. 왜 그런가? 물리학 교과서 뒤에 부록으로 나온다. 부록으로 나오면 참고만 하라는 것이다. 그래서 학생들이 거의 유도 안한다.
먼저 상태수에서 확률로 넘어가는 과정, 열역학의 에센스가 들어간다. 볼츠만 묘비에 있는 공식이 S=k logeΩ 이다. S는 엔트로피, k는 볼츠만 상수, Ω는 상태수로 어마어마하게 큰 숫자이다. 이것은 물으면 안된다. 볼츠만이 이렇게 하자고 정한 것이다. e는 log에 붙어 있다.
S=k logeΩ = k lnΩ 로 적어도 된다. ln은 e를 베이스로 하는 로그로 ‘자연로그’라고 한다. 자연로그는 물리현상을 다룰 때 쓴다.
lnΩ = s/k 를 지수형태로 적으면, elnΩ = es/k 가 된다.
e와 log는 없어지므로, Ω = es/k 가 된다. 따라서 상태수(Ω)를 계산할 수 있다.
엔트로피는 큰 가마솥이 있다면, 열원, 소스(source)라고 한다. 소스는 우주전체이다. 소스에서 조그만 새끼를 친다. 로칼(local)이다. 지구가 소스라면 서울시는 로칼이 된다. 로칼은 빈 껍데기였으나, 소스에서 로칼에 3가지를 준다. 첫 번째 에너지 ∆E, 두 번째 입자 ∆N, 세 번째 집 ∆V이다. 에너지와 입자수와 볼륨(Volume)이다. 자연이 식물잎에 태양에너지, 물분자, 나뭇잎 공간을 제공해주어야 한다.
원래 자연이 혼자 있을 때는 엔트로피 증가법칙으로 ‘열적 죽음(Thermal death)에 이른다. 엔트로피 최대상태 Smax이다. 그런데 자식이 생겨 분가를 해주어야 한다. 집 사주는 것이 ∆V, 양식도 사주는 것이 ∆E, 그리고 애완견도 한 마리 주는 것이 ∆N이다. 부모인 자연이 다 해주는 것이다. 자연이 왜 다 해주는가? 자연이 가만 내버려 두면, 방도 크고, 돈도 많으나 재미있는 이야기도 없고 바깥에도 잘 안 나가고, 그런 상태가 된다. 돈은 있으나 가고 싶은 곳이 없는 상태가 ’열적 죽음’이다. 그런데 자식이 있으면 아파트 한 채 사주고 하는 것이 열역학적으로 맞다. 노부부가 가만 내버려 두면 삶에 낙이 없다. 그것이 열적 죽음이다. 그런데 아들이 결혼해서 돈 갖다 주려면 노부부가 열심히 살아야 하니 생기가 난다. 노부부가 혼자 있을 때 보다 한 식구를 거느리고 있으면 돈주고 방주고 해서 마이너스가 될 것 같은데, 전체적으로 엔트로피가 낮아져서 플러스가 된다.
‘결합된 시스템’은 엔트로피가 낮아져서 편안해진다는 것이다. 문학, 철학, 과학이 다른 이야기가 아니다. 왜 기체분자가 그대로 안 있고 액체 물이 되는가? 결합되면 엔트로피가 낮아지기 때문이다. 어마어마한 이야기이다. 간단한 이야기인데 어려운 이야기이다. 가만 내버려두면 외로운 노부부, 돈은 많고 아파트 평수는 넓으나 할 일이 없으니 죽음밖에 기다릴 것이 없다. Smax이다. 그런데 골치아픈 아들이 있어 뒤치닥거리 해야 하니 기꺼이 지불을 하면 노부부와 아들식구가 결합된 총 엔트로피 상태는 낮아진다.
결합되어 빼앗은 엔트로피를 ∆S라고 하면, S ≤ Smax - ∆S 가 되어 전체 엔트로피 상태 S는 줄어든다는 것이다. 그래서 달이 도망 안 가고 지구를 돌고, 수증기 분자가 도망 안 가고 결합해서 물이 되고, 얼음이 되는 것이다. 실리콘 분자가 도망 안 가고 결합해서 바위가 된다. 바위가 왜 생기는가? 엔트로피가 낮아지는 이득이 있어 생긴다. 이 공식에 아로새겨서 들어간다.
결합된 상태를 ’응집물‘이라고 한다. 응집물 물리를 푸는 과정에 ’Smax, ∆S‘가 들어간다. Smax,는 상수가 되고, ∆S가 변수로 들어가서 자식이 골치 섞이더라도 도와주는 것이 나중에 도움이 되어 반도체가 생기고 스마트폰이 생겼다.
노부부가 먼 산만 바라보다가 갑자기 자식걱정을 하면 이야기 상태수가 많아진다.
Ω = es/k 에 S=Smax-∆S를 집어 넣는다.
아무 재미없는 Smax 삶에서 자식걱정(∆S) 있으니 이야깃거리가 생긴다.
그래서 Ω = e(Smax-∆S)/k 가 된다.
Ω = e(Smax-∆S)/k = e(Sm/k).e-∆S/k
e(Sm/k)를 상수 C로 두면,
Ω = C.e-∆S/k
’내부에너지‘가 열역학에 어려운 개념이다. 내부에너지가 확 오지 않는다. 도대체 뭐냐? 열역학의 핵심개념이 내부에너지이다. 집합론에서 보면, 내부에너지는 반드시 외부에너지가 있다는 말이다. 내부에너지로 내가 돌을 던지면, 날아가는 에너지는 외부에너지이다. 내부에너지는 내 행동이다. 내가 남을 주먹으로 때릴 때, 때릴 때까지는 내부에너지이다. 맞은 사람이 넘어지는 것은 외부에너지이다. 내가 화가 나는 것, 열이 나는 것은 내부에너지이다. 운동이 내부에너지이다. 속도는 외부에너지이다. 열역학은 이것 구분 못하면 어려워진다.
내부에너지 U=Q+W이다. Q는 열량, W는 일량이다.
미분형태는 dU=dQ+dW이다.
열량(Q)에 엔트로피가 링크가 된다.
따라서 dQ=TdS가 된다. T는 온도, S는 엔트로피이다.
피스톤이 일을 하면 내부에너지는 줄어들고, 압력은 일정한데, 볼륨의 변화가 생긴다.
따라서 dW=-PdV이다. P는 압력, V는 볼륨(Volume)이다.
정리하면, dU = Tds - PdV가 된다.
여기에 입자수 변동이 붙으면, dU = Tds – PdV + μdN 이 된다. 엄청 중요한 공식이다.
U는 에너지(E)로 적어도 된다.
∆E = T∆S – P∆V + μ∆N 으로도 적는다.
동어반복하면,
∆S=(1/T)(∆E+P∆V-μ∆N)이 되고,
입자가 강체이기 때문에 압축을 해도 볼륨의 변화가 없으므로 ∆V=0으로 두면,
∆S=(1/T)(∆E-μ∆N)이고, 이를 Ω = C.e-∆S/k에 넣으면,
Ω = C.e-(∆E-μ∆N)/kT 가 된다.
자식에게 방 내 주는 것은 있는 방 주는 것이니 ∆V의 변동은 없다. 그런데 ∆E와 ∆N은 변동되므로 따라가면 된다. 포톤(photon)을 따질 때는 chemical energy가 0이므로, ∆N도 날아간다.
Ω는 state number이다. 그것이 뭔지 물어야 한다. 개수이다. 상태의 개수이다. 상태는 물리적 공간에 10층 빌딩이 있다면, 1~10층으로 상태의 개수가 10개이다. 집에서 내부적 상태는 아버지, 어머니, 아들, 딸 이것이 상태이다. 국화꽃이 핀 상태는 꽃이 피기 위해서는 물분자가 타고 올라가야 하므로 1m를 올라간다면 어떻게 뿌리에서 국화꽃 세포까지 가는지 계산할 수 있다. 간단하지 않다. 질문을 먼저 갖고 있어야 한다. 수소결합으로 연결되어 간다. 그 모든 상태를 계산한다. 빛도 들어와야 하니 그 상태는 어떻게 계산하는가? 태양빛은 수 eV이다. 엽록소에 있는 물분자의 에너지 상태수가 어마어마하다. 거기에 빛이 하나가 들어왔을 때 물분자의 에너지 상태가 몇 개 더 생기는가? 천문학적으로 많이 생긴다. 햇빛뿐 아니라 엽록소 분자의 여러 상태, 이산화탄소로 기공이 열리는 상태, 이런 것들을 다 계산해야 한다. 상태수가 어마어마하게 많기 때문에 계산하다가 늙어 죽는다.
1600년대에 로그가 나왔는데, 기적의 계산법이라고 했다. 네이피어(John Napier)가 상용로그 테이블을 만들고, 인류의 역사가 바뀐다. 100년 지나 라플라스(Laplace)가 말하길 “로그의 발견으로 천문학자의 수명이 2배로 늘어났다’고 하였다. 로그가 나와서 천문학자들이 계산의 감옥에서 해방되었다. 어마어마하게 큰 숫자인 백만, 천만 단위를 숫자로 바꾸고 곱하기를 더하기로 바꾸었다. 보통 1억 되는 큰 숫자를 쉽게 하게 되었다.
엔트로피도 상태수가 어마어마하기에 로그를 쓴다. 내가 기분좋은 상태는 배가 안 고파야 하고, 경치가 좋아야 하고, 잡음이 들리면 안된다. 공부하는 사람은 잡음이 많이 들어오면 안 된다. 잡음의 상태수를 계산해보라. 소리가 들리면, 브레인 속에 소리를 분석하는 단백질이 500종이 넘는다. 단백질 분자는 수소원자 10만개이다. 10만개 원자의 입체구조가 어떻게 바뀌는지를 다 계산해야 한다. 열역학이 전율할 정도로 엄밀한 학문이다. 한 송이 장미꽃이 피는 것은 어마어마한 상태들의 상호작용이다. 이것을 기호 Ω = C.e-(∆E-μ∆N)/kT 로 써서 단숨에 해결해 버린다. 상태수는 감소하는데, 온도와 볼츠만 상수에 관계된다. 엄밀한 숫자이다.
상태수는 일어날 경우의 수이다. 학습탐사 가면 온갖 상태가 벌어진다. 상태수가 물리학으로 바뀐다. 그대로 확률로 바꾸었다. 열역학의 가장 위대한 점프는 상태수가 곧장 확률이라는 것으로 우주의 전부를 설명하게 되었다. 확률 P=Ω 이다. 일어날 확률이 상태의 수이다. 자식이 많으면 일어날 확률이 많다. 상태의 수와 확률은 비례한다. 따라서 확률은 지수함수로 표현된다.
Ω = C.e-(∆E-μ∆N)/kT 에서 ∆E는 E1, E2, E3,..에너지 상태이다. 따라서 Ωi 에서 nEi로 적을 수 있다. 여기서 확률은 Ei라는 에너지 상태에 입자가 들어갈 확률이다. 전자는 5개 들어갈 수 있는가? 전자는 페르미온이라 한 상태에 하나만 들어갈 수 있다. 광자(photon)는 보존이라 한 상태에 무한대 들어갈 수 있다. 그래서 우주의 입자가 2개로 갈라진다. 전자는 한 개 들어가든지 안 들어가든지이다. 광자는 무한대가 들어간다. 레이저는 한 공간 포인트에 돋보기로 빛을 모으는 것이다. 한 에너지 상태에 광자를 무한대로 집어넣을 수 있다는 것이다. 그것을 <화엄사상>에서 중중무진연기(重重無盡緣起), 상즉상입(相卽相入)이라고 한다. 광자에서 가능해진다. 그것을 가르는 분기점이다.
에너지 준위가 주어졌을 때 평균해서 몇 개 입자가 들어가는가? 책상이 다단으로 되어 있으면 강사 앞쪽에 안 앉으려고 한다. 앞자리는 적게 앉는다. n1상태이다. 각 에너지 준위에 평균적으로 앉는 확률이 에너지 레벨에 따라 바뀐다. 평균값이 얼만가 알고 싶다. 평균값을 알면 토탈에너지가 나온다.
n은 전자나 광자의 개수로, 확률이 에너지 레벨이 주어졌을 때 들어가는 입자의 개수이다.
P=C.e-(nε-nμ)/kT = C.e-n(ε-μ)/kT 가 되고, 이때 μ는 chemical potential로 빛인 경우는 0이다.
그러면 계산이 간단해져서, P=C.e-εn/kT 가 되고, -ε/kT=x로 두면, P=C.e-nx가 된다.
#5
다음으로 P가 확률이므로, Pn=C.e-nx로 주어지면,
∑Pn=1이 되어야 한다.
따라서 ∑C.e-nx=1 이므로, C=1/∑e-nx 가 되고,
동어반복으로 Pn=e-nx/∑e-nx 가 된다. 아름다운 수식이 나왔다.
이제 각 에너지 준위가 주어지면 평균값을 구하고자 한다. A 강사가 강의를 하면 앞줄에 몇 명이 앉느냐? 강사마다 다르다. 다정한 강사는 많이 앉고 괴팍한 강사는 적게 앉는다. 강사를 바꿀 때 앉는 숫자가 변하는데 평균을 구하는 것이다. 주사위의 경우 평균으로 나오는 숫자는 (1/6 × 1)+(1/6 × 2)+((1/6 × 3)+(1/6 × 4)+(1/6 × 5)+(1/6 × 6)=3.5이다.
ň=∑Pnn이다. Pn=e-nx/∑e-nx을 넣어주면,
ň=∑(ne-nx/∑e-nx) 이 된다.
이 함수는 편미분 형태로 쓸 수 있는데,
ň=-∂/∂x(loge∑e-nx) 이다. logx를 미분하면 1/x이 되기 때문이다.
#6
ň=-∂/∂x(loge∑e-nx)에서 ∑e-nx를 계산해 주어야 하는데, 방식이 2가지이다. 에너지 준위(ε1, ε2, ε3...)가 있다면, 한 가지는 광자이면 입자가 안 들어가거나, 하나가 들어가거나, 여러 개가 들어갈 수 있다. 보존(Boson)이다. 어떤 경우는 안 들어가거나, 1개가 들어간다. 우주의 입자를 만드는 페르미온(Fermion)이다. 우주에는 두 가지 입자밖에 없다. 하나는 빛이 되고, 하나는 물질이 된다. 갈림길이 여기 계산이다.
보존인 경우, ∑e-nx=1+e-x+e-2x+.... 가 된다. a0(초항)에 r(공비) 공식을 쓰면, a0/(1-r)이므로,
∑e-nx=1/(1-e-x) 가 된다.
페르미온인 경우, 0와 1밖에 없으므로,
∑e-nx=1+e-x 가 된다.
따라서 평균값 ň=-∂/∂x(loge∑e-nx)를 계산하면,
보존인 경우는 ň=-∂/∂x(ln(1/(1-e-x)) = ∂/∂x(ln(1-e-x)) = -(-e-x)/(1-e-x) = 1/(ex-1) 이 된다.
페르미온인 경우는 ň=-∂/∂x(ln(1+e-x)) = -(-e-x)/(1+e-x) = 1/(ex+1) 이 된다.
부호 하나만 달라진다. 자연의 심층구조가 보인다.
#7
보존의 ň=1/(ex-1) 를 구했다. 이것을 하면 ‘우주론’을 할 수 있다. 화엄사상은 부분집합이다. 에너지 준위는 x에 들어 있다 에너지 준위에 따른 광자의 평균 개수 ň를 구했다. 이것을 연구하는 분야를 ‘우주론’이라고 한다. ň를 구한 다음은 전체광자의 미분(dN)을 구하고, 다음은 전체에너지의 미분값(dE)이 나오면 전체내부에너지의 미분값(dU)이 나온다.
지금까지 두 덩어리가 끝났고, 세 번째 덩어리는 더 크다. 여기에는 우주 전체를 다룰 때 양자역학적으로 상태 개수를 어떻게 처리하느냐가 담겨있다. 입자의 개수와 상태의 개수는 같은 개념이다. 전체 양자상태 개수라는 개념이 중요하다.
양자상태는 하이젠베르크(Werner Heisenberg, 1901~1976)의 불확정성 원리(Uncertainty Principle)를 알아야 한다. ∆x.∆P≥ħ/2 로 위치의 변동량과 운동량의 변동량이 ħ/2 라는 것이다. 다른 버전이 교환자를 써서 〔x, p〕=iħ 로 쓰는 것이 더 깔끔하다.
dN은 양자상태이다. 힐버트 공간에서 양자상태 dN = (∆V∆P/h3)ň(ε) 이다. (∆V∆P/h3)은 상태의 개수, ň(ε)는 들어가는 입자의 개수이다. 그러면 전체입자가 된다. 상태는 입자가 들어가는 방이다. 방에 있는 의자의 상태의 개수에 입자인 학생이 앉을 확률이다.
V는 3차원 공간이니 잊어도 된다. 운동량 P는 어떻게 계산해 주는가? ∆P=4πP2dP로 모멘텀(P) 공간에서 구의 체적이다.
따라서 dN = (∆V∆P/h3)ň(ε) = (4πP2dP∆V/h3)ň(ε) 이다.
이것은 2차원 모멘텀 공간에서 한 스페이스의 폭이 h라는 것이다. h*h가 2차원에서 미니멈공간이다. 플랑크 길이(h)가 우주에 존재하는 가장 짧은 길이이다. 그래서 이 공간이 2차원 양자화된 가장 작은 픽셀(pixel)이다. MRI도 픽셀로 분석한다. 우주의 상태에서 픽셀은 미니멈 길이가 있다. 그보다 줄어들 수 없다. 그것이 플랑크 길이(h)이다. 전체 공간이 있으면 플랑크 길이의 픽셀로 세었을 때 몇 개인가? 이다. 이 공간은 2가지이다. 위치에 의한 위치공간(∆V), 운동량에 의한 운동량공간(∆P)이다. 두 공간을 모두 카운트해 주어야 한다. 그러면 위치와 운동량의 6차원 공간의 큐빅 하나가 h3이다. 그러면 우주 전체는 큐빅이 몇 개인가? 그것이 상태의 개수이다. 그래서 h3으로 나누어주면 전체 개수가 나온다는 말이다. 엄밀한 이야기이다.
어려운 이야기이다. 반도체물리학 하는 사람들도 헷갈려한다. 양자론적으로 엄밀한 수식이고 우주 전체를 다루는 이야기이다. 우주 전체를 운동량공간과 위치공간이 합쳐진 위상공간으로 보았을 때, 위상공간이 기본 유니트 몇 개로 되어 있는가 카운트 하는 것이다. 기본 유니트가 h3이다. 이 바탕에는 하이젠베르크의 불확정성 원리를 그대로 적용한다.
지금까지 온 것은 Ψ=ei(kx-ωt), Ψ=ei/ħ(px-Et)에서 부터이다. 오늘 강의로 ”물리학을 나도 할 수 있다“는 확신을 가져야 한다. 세부계산에는 신경쓰지 마라. 이 공식 하나로 다 풀렸다는 것만 가지고 가라. 지금 하는 것은 Ψ=ei(kx-ωt), Ψ=ei/ħ(px-Et) 두 공식을 링크해야 한다.
플랑크상수가 들어가므로 양자론 세계이다. 그래서 운동량 P를 양자론적으로 바꾸어 주어야 한다. 고전물리에서는 p=mv이지만, 양자론에서는 E2=(PC)2+(mc2)2공식을 써야 한다. 광자인 경우에는 정지질량 m=0이므로, E=PC, P=E/C이다.
P2=(ε/C)2, dP=dε/C가 되므로, 식에 집어 넣으면,
전체광자의 개수의 미분 dN=(4π(ε/C)2(dε/C)∆V/h3)ň(ε) 가 된다.
광자는 편광방향이 2개이므로, 전체에 2를 곱해주어 dN=2×(4π(ε/C)2(dε/C)∆V/h3)ň(ε) 가 된다.
정리하면, dN=(8πε2dε∆V/h3C3)ň(ε)가 된다.
dE=εdN이 되고, dU=dE/∆V이다. ň(ε)=1/(ex-1), x=ε/KT 이므로.
dE=(8πε3dε/h3C3).∆V/(eε/KT- 1)가 된다.
마지막 터치는 ε를 주파수로 표시해보고 싶다는 것이다. ε=hν가 들어간다.
dU=dE/∆V=(8πε3dε/h3C3).1/(eε/KT- 1)=(8π(hν)3hdν/h3C3).1/(ehν/KT- 1) 이 된다.
이것이 그 유명한 내부에너지이다.
정리하면, dU=(8πν2/C3).hν/(ehν/KT- 1)dν 가 되는데,
이를 ‘플랑크 공식(Plank formula)’이라고 한다. 유명한 플랑크 복사공식이다. 이 공식 하나가 노벨상을 세 번 받았다. 이 공식을 1900년 무렵에 플랑크가 유도하고 생긴 학문을 ‘양자역학’이라고 한다. 양자역학의 문을 열어 주었다. 드디어 주파수별 광자의 개수분포를 밝혀냈다. 이것을 알고 나서 태양빛을 알게 되었다.
#8
여러분을 밤에 사진 찍으면 중심파장이 10μm이다. 태양빛을 찍으면 중심파장이 대략 500nm이다. 빅뱅을 찍으면 야단난다. 모두 이 공식이다. 놀라야 한다. 여기에 우주가 있다. COBE, W-MAP, Planck 위성이 올라갔다. 위성 한 대 값이면 경부고속도로를 놓을 수 있다. 우주배경복사(CMB) 곡선이다. 지구를 찍으면 태양에서 오는 빛은 500nm이고, 지구를 달구어서 복사되는 파장은 10μm로 적외선이라고 한다. 적외선, 가시광선 모두 이 공식에 들어있다. 어마어마한 것이다. 이 방정식을 연구하는 분야를 ‘우주론’이라고 한다. 간단히 우주의 온도분포이다.
태양에서 햇빛이 나오면, 프리즘으로 분석하면, 광자의 파란색 알갱이가 몇 개가 왔는가를 세니 5개이다. 빨간색은 몇 개인가 세어보니 15개이다. 파장이 더 길어지면 검은색이 되어 3개가 왔다. 그러면 최대포인트를 계산할 수 있다. 파장이 온도로 바뀐다. 태양은 대략 6000 ℃에서 최대가 된다.
우주의 모든 물체는 유니크한 파장분포가 있다. 어떤 물체가 내는 파장을 분광기로 분석하면 메인곡선이 하나로 귀결이 된다. 별에서 오는 것을 분석하면 메인이 어디에 있는가를 알 수 있다. 별에서 빛이 오다가 구름이 끼어서 감쇄가 되면 그 파장의 흔적이 남는다. 그 파장을 분석하면 그것이 메탄가스인지 물분자인지 다 분석이 된다는 것이다. 우주의 지문을 찍은 것이다. 스펙트럼 분석하면 우주의 어떤 불빛, 우주의 모든 존재는 열을 가지고 있기에 찍으면 나온다. 이 곡선, 이 수식으로 우주를 알게 된 것이다. ‘공학’이라고 적고 ‘스펙트럼 분석’이라고 읽는다. 그 공식이 플랑크 공식이다. 양자역학의 문을 열었고, 우주론의 다른 이름이고 빛이 무엇인지 알았다. 시작은 딱 하나 e밖에 없다.
#9
e가 어떻게 이 모든 것을 풀어냈는가? 우주의 속살이 드러난 것인데, e가 홀딱 벗었기 때문이다. 홀딱 벗었기에 자연의 본 모습을 그대로 보여준다. 다른 것들은 옷을 입고 있다. 유튜버 ‘파깨비’, ‘깨봉’, ‘DMT-PARK’은 대단한 분들이다. 훌륭하다는 말은 이런 사람들에게 붙여주어야 한다. 이 세 분에게 엄청난 힌트를 얻었다. ‘DMT-PARK’의 동영상 20개 중 하나만 알면 e가 왜 이렇게 모든 것을 해결했는가를 알게 된다. 지난 석달 사이에 이 세분 덕분에 3년 사이보다 더 바뀌었다. 다음 시간에 DMT-PARK’의 동영상을 설명을 해 보려고 한다.
파깨비가 그룹(집합, 군론)을 설명하면서 자기는 엄밀하지 않지만 이렇게 설명하고 싶다고 하면서 간단히 설명한다. 그룹은 군이고 집합이다. 집합이라는 개념이 왜 그렇게 위대한가? 수학을 사랑하는 철학도가 집합이란 이런 것이라고 얘기한다. x가 실수에 속해 있다면 x가 집합을 이루려면 4가지 조건이 있어야 한다. 첫 번째 결합법칙이 성립하고, 두 번째 항등원이 있어야 하고, 세 번째 역원이 있어야 하고, 네 번째 연산결과가 다시 실수에 속해야 한다. 이 네 가지를 갖는 것을 집합이라고 한다. 집합이 아닌 경우는 의미가 없다. 집합은 결합을 시킨다. 역원은 다시 자기 자리로 돌아오는 것이다. 역원이 존재하면 경로가 폐회로가 된다. 이것이 구조이다. 안정이고 대칭이다. 이렇게 결합하면 패턴이 된다. 역원과 항등원을 알면 우주에는 숫자가 딱 2가지 밖에 없다. 0가 1이다. 이것으로 모든 것이 풀린다.
실수에 대한 14가지 공리가 있는데, 4가지 정리를 도출하는데, 이를 증명한다. 증명하기 전에는 쓰면 안 된다.
<정리1>은 X가 실수에 속하면, X의 +에 대한 역원을 X’, X”이라고 하면 반드시 두 역원은 유일해야 한다. 유일성 조건이다. 5의 역원은 -5 하나 밖에 없다.
증명을 하면, X+X’=0, X+X“=0이 된다.
X’=X’+0=X’+(X+X”)=(X’+X)+X“=(X+X’)+X”=0+X“
따라서 X’=0+X“=X”로 증명이 되었다.
<정리2>는 X가 실수이면 X.0=0임을 증명한다.
0의 항등원을 써서 X.0=X.(0+0)=X.0+X.0 이다.
역원은 –X.0이니, 양변에 더해주면
X.0+(-X.0)=X.0+X.0+(-X.0)
0=X.0+0=X.0
따라서 X.0=0이다.
<정리3>은 X가 실수이면 -(-X)=X임을 증명한다.
(-X)+X=(-1).X+1.X=((-1)+1).X=0.X
<정리2.에서 0.X=0이므로
X는 (-X)의 역원이다. 따라서 -(-X)=X이다.
<정리4>는 X가 실수이면 (-1).X=-X임을 증명한다.
X+(-1).X=1.X+(-1).X=(1+(-1))X=0.X=0
(-1).X는 X의 역원이다. 따라서 –X=(-1).X이다.
모든 과정에 역원 항등원 개념이 들어간다
X=-1을 넣으면, (-1)(-1)=-(-1)=1이 된다.
이번 강의에는 <논리학>을 터치한다. 신이 ‘자연의 법칙’은 위배해도 ‘논리의 법칙’은 위배할 수 없다. 그래서 나온 개념이 ‘계약’이다. 바이킹 신화를 이해하는 조건이 신조차도 계약을 무시할 수 없다는 것이다. 자연의 법칙은 벗어날 수 있지만 논리의 법칙은 벗어나지 못한다. 수학에서 물리학 밑에 있는 것이 논리학이다.