하고 싶은 말
네이버의 <물리산책> 양자의 과학(2)-스핀
'크기가 없는 점속에 숨겨진 거대한 공간'의 일부내용입니다.
서울대 물리천문학부 유재준 교수님의 글입니다.
어제 '137억년 우주의 진화' 5강과 관련된 내용이라 올려봅니다.
1922년 오토 슈테른과 발터 게를라흐는 자석 성질을 띤 원자의 자화 방향, 즉, 원자 막대 자석의 방향을 결정하는 실험을 고안하여 실행하였다. 몇 개의 슬릿을 통과시켜 만든 은 원자들의 흐름이, 균일하지 않은 자기장을 통과하여 감광판 스크린으로 향하게 했다. 은 원자도 양성자와 같은 스핀 자석의 성질이 있어 은 원자의 흐름은 자기장에 의해 갈라지는 현상이 나타난다. 균일한 자기장에서는 막대 자석이 세차운동만 하고 알짜 힘을 받지 않아 원자 흐름의 경로가 변하지 않는다. 하지만 불균일한 자기장에서는 막대 자석의 N극과 S극에 작용하는 힘이 서로 다르기 때문에, 은 원자 흐름의 경로가 어느 한쪽으로 휘어지게 된다. 여기서 휘어진 경로의 크기와 방향은 자기장의 불균일 정도에 비례하고, 또 원자 막대 자석의 방향과 자기장 사이의 각도에 따라 달라진다.
슈테른과 게를라흐는 어느 한 쪽으로 방향성을 띠지 않은 은 원자의 막대 자석을 불균일한 자기장으로 보낸다면, 막대 자석의 방향이 자기장 방향에 대해 모든 방향으로 골고루 분포할 것이고 각 막대 자석의 방향에 따라 휘어진 경로도 모두 다를 것이라고 추정했다. 그래서 감광판 스크린에 부딪힌 원자의 위치는 막대 자석과 자기장의 각도에 따라 균일하게 퍼진 모양이 나올 것이라고 예상했다. 앞선 글 [불확정성의 원리]에서 얘기한 대로 은 원자의 스핀 자석의 크기는 0.1나노미터 정도로 작기 때문에 그 위치를 정확히 측정하기는 쉽지 않을 수 있다. 비록 위치 측정이 쉽지 않다고 해도 그 자석의 방향을 정하지 못하는 것은 아니라고 생각했다.
그러나 정작 실험 결과는 슈테른-게를라흐의 예상과 달리 감광판의 은 원자 위치는 연속적인 분포가 아니라 위와 아래로 갈라진 두 개의 점으로 나타났다. 은 원자의 막대 자석은 3차원 공간의 모든 방향을 향하는 것이 아니고 자기장의 방향과 같은 방향으로 평행하거나 반대 방향으로 평행한 두 개의 상태만 존재한다는 의미를 나타내는 결과였다. 우리가 직관적으로 알고 있는 화살표와 같은 방향의 개념을 뒤집는 실험이었다. 원자 크기에서는 위치 측정의 불확정성이 있는 것처럼 자석의 방향에 대해서도 뭔가 다른 개념이 필요하게 된 것이다.
슈테른과 게를라흐의 실험은, 원자 막대 자석의 방향은 측정을 위해 걸어준 자기장의 방향에 대한 크기만 알 수 있고 그 크기는 불연속적이라는 결과를 확인해 주었다. 원자 크기에서는 자석의 방향도 뉴턴 시대의 개념과 다르다는 것이었다. 3차원 공간에서 사방팔방 어느 쪽이든 방향을 정확히 정할 수 있다고 생각했는데, 실제 원자 막대 자석의 방향을 측정해 보면 걸어준 자기장의 방향 외에는 측정이 불가능했다. 그렇다면 원자 막대 자석은 우리가 눈으로 확인할 수 있는 커다란 막대 자석과 어떻게 다른 것일까? 그리고 원자의 자석 성질은 어디서 나오는 것일까?
앞선 글 [자석은 왜 철을 끌어당길까?]에서 전류가 흐르는 솔레노이드 코일은 원통 모양 자철석 자석과 같은 형태의 자기장을 만든다고 했다. 전하를 띤 전자가 원자핵 주변을 도는 모양은 원형 코일의 도선을 따라 흐르는 전류에 의해 만들어진 자기장을 연상시킨다. 하지만 앞선 글 [물질파]에서 원자핵 주변의 전자는 입자로서 회전운동을 한다기보다 정상파 파동을 만드는 물질파로 해석해야 한다고 했다. 더 이상 원형 코일의 전류로 볼 수 없다는 말이다. 한 발짝 더 나아가 생각해 보면, 원자의 자석 성질의 근원은 원자 핵이나 전자 입자의 운동이 아니라 핵과 전자의 스핀에 있다고 짐작할 수 있다.
현재까지의 측정 결과에 따르면 입자로서의 전자는 전하 e, 스핀 1/2인 크기가 없는 점 입자다. 만일 전자 입자의 크기가 유한하다면 그 모양은 구 형태일 것이다. 왜냐하면 어떤 방향으로 충돌을 해도 방향에 따른 차이를 보인 적이 없기 때문이다. 구 모양의 전자가 막대 자석처럼 N-S극을 가지려면, 코일 모양의 회로에 흐르는 전류가 필요하다. 뉴턴 시대의 관점에서 보면, 구 모양의 전하가 회전을 하면 솔레노이드 형태의 자석을 만들 수 있다. 회전하는 구 모양의 전하가 전자의 스핀 자석 성질을 만든다는 아이디어는 언뜻 보면 그럴 듯하다. 그러나 회전하는 구 모양의 전하는 얼마 가지 못해 금방 정지하고 만다. 그에 반해 전자의 스핀 자석은 영원히 변하지 않고 그 성질을 유지한다.
전하를 띠지 않는 구 모양의 물체는 회전 운동을 유지할 수 있다. 외부의 회전력이 없으면 각 운동량이 보존된다는 각운동량 보존법칙으로도 이해할 수 있다. 그런데 전하를 띤 물체가 회전을 한다면 상황이 다르다. 원운동을 하는 전하는 각 점에서 원의 중심을 향하는 방향으로 가속 운동을 한다. 앞선 글 [빛의 근원]에서 전하를 띤 입자가 가속 운동을 할 때 전자 주변에 전기장과 자기장의 파동이 만들어지고 그 전자기파는 공간 속으로 퍼져 나간다고 했다. 가속 운동을 하는 전하가 만들어 낸 전자기파의 에너지와 운동량은 회전운동의 속력을 줄이는 방향으로 작용한다. 물체의 회전 운동 에너지가 전자기파 에너지로 방출되면서 운동 에너지가 고갈된다. 결국 회전하는 구 모양의 전하는 정지하게 된다. 그렇다면 영원불멸의 스핀 자석의 성질은 어디서 나오는 걸까?
스핀이라는 이름은 전자의 ‘영원불멸의 회전운동’을 표현하기 위해 만들어진 용어다. 이미 설명했듯이 실공간에서 영원히 회전하는 전하 입자는 존재하지 않는다. 전자의 자석 성질은 분명 원형 코일과 같이 회전하는 전하가 필요하지만 실공간에서 회전하는 전하는 존재할 수 없다는 모순을 해결하려면 새로운 개념이 필요하다. 크기가 없는 점 속에 숨어있는 공간이 있어 그 안에서 회전하는 전하가 있다고 상상해 보면 어떨까? 얼핏 보면 말이 안 되는 것 같지만, 차근차근 왜 이런 상상이 가능한지 한 번 따라가 보자.
크기가 없는 공간을 생각하기 전에, 우선 우리가 살고 있는 3차원 공간에 대해 생각해보자. 유클리드 기하학에서 3차원 공간의 점은 크기와 방향을 갖는 벡터로 표현된다. 3차원 직교좌표에서 x-축, y-축, z-축 방향을 나타내는 단위 벡터 i, j, k에 각 방향의 크기 ax, ay, az라고 하면, 공간의 한 점을 나타내는 벡터 a의 크기는 피타고라스 정리에 따라 
으로 표현된다. 3차원 공간에서의 반경 a인 구 또는 원 모양은 누구나 쉽게 상상할 수 있다.
크기가 없는 공간은 a=0 인 공간이다. 
을 만족하는 실수의 해는 ax=ay=az=0 밖에 없다. 실공간의 점 속에는 아무런 자유도가 없고 아무 것도 움직일 수 없다.
다시 돌아와, 크기가 없는 공간에 대한 아이디어는 파울리가 처음으로 제시하였다. 파울리는 슈테른과 게를라흐 실험을 통해 측정된 전자의 스핀 자석의 상태가 두 개밖에 없다는 것에 주목하여, 스핀의 상태를 표시하기 위한 2차원 복소수 행렬을 제안했다. 이 복소수 행렬은 파울리 행렬이라고 이름이 붙여졌는데, 후에 아주 재미있는 성질이 숨어 있다는 것이 밝혀졌다. 처음에는 단순히 수학적으로 3개의 독립적인 σ1, σ2, σ3의 기저(basis) 행렬이라고만 생각했다. 그런데 이 행렬의 고유벡터가 마치 3차원의 x, y, z 방향에 대응하는 성질이 있다는 것을 알게 되었다. 그러면서 이 행렬을 σx, σy, σz로 달리 표현하여, 실공간에서 방향을 나타내는 단위 벡터 i, j, k 대신에, 복소수 공간에서 a = axσx + ayσy + azσz 라는 새로운 벡터를 상상하면, 실공간에서 크기는 ‘0’이면서 스핀 공간에서는 회전 운동이 가능할 수 있다.
2차원 복소수 행렬로 표현되는 스핀 공간은 직관적으로 이해하기가 쉽지 않다. 그렇지만 실제로 2차원 복소수 행렬 공간과 우리가 살고 있는 3차원 실공간 사이에는 신기한 연결고리가 존재한다. 우리가 경험적으로 측정할 수 있는 현상은 3차원 공간에서 일어나고 있지만, 그 근원은 2차원 스핀 공간에 있기 때문이다. 3차원 공간에 퍼진 원자 막대 자석의 자기장이, 전자의 스핀에 그 근원이 있다는 것이 바로 두 공간의 연결고리다. 겉보기에는 상관이 없어 보이는 스핀 공간과 3차원 공간은 물체의 운동이 빛의 속력에 접근하는 상대론적인 영역에 가면 서로 섞이게 된다. 앞선 글 [자석은 왜 철을 끌어당길까?]에서 움직이는 전하의 상대성 효과가 바로 자기장의 힘이라고 언급하면서 자기력의 근원이 아인슈타인의 특수상대성 이론에 연관되어 있는 것을 보았다. 이렇게 상대성 이론에서 스핀 공간과 3차원 공간은 필연적으로 얽히게 된다.